Podstawy trapezu rownoramiennego maja dl 14 i 6, a jego obwod 36cm. Oblicz odległość punktu przeciecia jego przekątnych od dluzszej podstawy.
Bardzo prosze nie podawac samego wyniku, tylko pomoc w obliczeniach, zebym wiedzial skad sie dana rzecz bierze. Z gory b.dziekuje.
odległości punktow przecięcia
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
odległości punktow przecięcia
Oznaczmy ten trapez przez ABCD, gdzie |AB|=14, |DC|=6, |BC|=|AD|=c. Punkt przecięcia się przekątnych oznaczmy przez O. Wysokość trójkąta OCD to \(\displaystyle{ h_{1}}\), a wysokość trójkąta ABO to \(\displaystyle{ h_{2}}\), gdzie h to wysokość trapezu i zachodzi równość \(\displaystyle{ h=h_{1}+h_{2}}\). My szukamy \(\displaystyle{ h_{2}}\).
Obwód to 36, więc mamy równanie 36=14+6+2c, z którego wyliczamy, że \(\displaystyle{ c=8}\).
Z wierzchołka D opuśćmy wysokość na punkt E ( na podstawe AB, of course). W trójkącie prostokątnym AED mamy podane |AD|=8, oraz \(\displaystyle{ |AE|=\frac{14-6}{2}=4}\). Z twierdzenia Pitagorasa wyliczamy więc wysokość DE i otrzymujemy, że \(\displaystyle{ h=4 \sqrt{3}}\). Teraz skorzystamy z podobieństwa trójkątów ABO i OCD (kkk) i ułożymy sobie proporcję:
\(\displaystyle{ \frac{h_{2}}{14}=\frac{h_{1} }{ 6}}\)
Wiemy, że \(\displaystyle{ h_{1}=4 \sqrt{3}-h_{2}}\), czyli mamy \(\displaystyle{ 6h_{2}=14(4 \sqrt{3} -h_{2})}\). Wyliczamy stąd, że \(\displaystyle{ h_{2}=\frac{ 14 \sqrt{3} }{5}}\).
Obwód to 36, więc mamy równanie 36=14+6+2c, z którego wyliczamy, że \(\displaystyle{ c=8}\).
Z wierzchołka D opuśćmy wysokość na punkt E ( na podstawe AB, of course). W trójkącie prostokątnym AED mamy podane |AD|=8, oraz \(\displaystyle{ |AE|=\frac{14-6}{2}=4}\). Z twierdzenia Pitagorasa wyliczamy więc wysokość DE i otrzymujemy, że \(\displaystyle{ h=4 \sqrt{3}}\). Teraz skorzystamy z podobieństwa trójkątów ABO i OCD (kkk) i ułożymy sobie proporcję:
\(\displaystyle{ \frac{h_{2}}{14}=\frac{h_{1} }{ 6}}\)
Wiemy, że \(\displaystyle{ h_{1}=4 \sqrt{3}-h_{2}}\), czyli mamy \(\displaystyle{ 6h_{2}=14(4 \sqrt{3} -h_{2})}\). Wyliczamy stąd, że \(\displaystyle{ h_{2}=\frac{ 14 \sqrt{3} }{5}}\).