Dany jest okrąg...

[Auryn]

Dany jest okrąg o równaniu x�+y�-2y-3=0. Napisz równania prostych stycznych do tego okręgu i równoległych do prostej y=√2 x.

prosze o pomoc

[LecHu :)]

Oblicz sobie punkty wspolne prostej o rownaniu \(\displaystyle{ y=\frac{\sqrt{2}}{2}x}\) z twoim kolem, wez sobie potem po kolei te punkty, i napisz sobie uklady rownan, gdzie niewiadomym bedzie b, bo wspolczynnik kierunkowy √2. (dlatego ze te proste maja byc rownolegle do y=√2 x)
Te punkty wspolne, z ktorymi bedza sie stykac styczne maja wspolrzedne:
\(\displaystyle{ A(\frac{\sqrt{2}-2\sqrt{5}}{3} ; \frac{1-\sqrt{10}}{3})}\)
\(\displaystyle{ B(\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{5}}{3} ; \frac{1+\sqrt{10}}{3})}\)

[Auryn]

hehe po pierwsze to moosi byc rownanie y=- √2÷2×x + b
gdzie b=√2÷2


przynajmniej tyle sam wymyslilem

popraw mnie jak sie myle.

a nie da sie tego zrobic jakos z pochodnych ?

[LecHu :)]

O faktycznie, zapomnialem o tym minusiku. Nie, w tym nie bedzie b, bo musi byc prostopadla do kazdej prostej o a= √2 i przechodzic przez punkt (0;0) tak jak promien.
Jesli chodzi o mozliwosc rozwiazania z uzyciem pochodnych, to nie wiem, nigdy sie nie spotkalem.

[Auryn]

bo wtedy srednica kola sie zawiera w tej prostej i pozniej tak jak mowisz mozna wyliczyc,..... ale i tak wychodzi zly wynik ... :/

[ Dodano: Pon Kwi 17, 2006 6:45 pm ]
no wtedy przechodzi przez srodek kola jak jest to b ktore podalem...

[ Dodano: Pon Kwi 17, 2006 6:48 pm ]
nie sadzisz ze styczna musi byc prostopadla do promienia ? a 2 styczne o tym samym wsp kierunkowym sa rownolegle i zarazem musza byc prostopadle do 2ch promieni czyli to musi byc srednica ?

[LecHu :)]

Sorry, patrzylem sie na moj niedorobiony rysunek, ktory zle narysowalem
Ale jak masz juz te prosta to oblicz jej punkty wspolne z okregiem, podstawiajac za y we wzorze okregu rownanie tej prostej. Jak juz bedziesz mial punkty, to tylko podstawisz i rozwiazesz uklad(podstawiajac do wzoru y= √2 x +b i obliczasz b)

[Auryn]

tak zrobilem i mi nie wyszlo ale spróbuje jeszcze raz i ty w ramach naprawienia swojego bledu tez spróbuj i zobaczymy ile nam wyjdzie

hihi

[LecHu :)]

Straszne rzeczy wychodza
\(\displaystyle{ x_{1,2}=\frac{1-\sqrt{2}}{3}(+ ; -)\frac{\sqrt{32(9+2\sqrt{2})}}{12}}\)

[Auryn]

oo nie kurde co mi wychodzi


w tej stycznej b wychodzi mi :
b=1-3√(9+2 √ 2)
a w drugiej
b=1+3√(9+2 √ 2)

natomiast ma wyjsc
b=1+2 √ 3
b=1-2 √ 3
dlatego mysle ze jakos z tego ze wartosc pochodnej w punkcie jest rowna wspolczynnikowi kierunkowemu stycznej do tej funkcji w tym samym punkcie trzeba to jakos zrobic

[LecHu :)]

A moze by to zrobic tak:
Obliczasz wspolrzedne wektora ktorego poczatek jest w srodku okregu, a koniec zawiera sie w okregu, najlatwiej dla y=0. I ten wektor wykorzystac przy obliczeniach i na pewno bedzie latwiej niz z podstawianiem do wzoru na ten okrag.

[Auryn]

wiesz co to zadanie zostawiam i w srode pogadam z matematyczka ;D

napisze ci jak ona to zrobila

[LecHu :)]

Bede czekal z niecierpliwoscia.

[Malkolm]

Niech \(\displaystyle{ P : (x_{0},y_{0})}\) - punkt styczności.

Równanie okręgu w postaci kanonicznej: \(\displaystyle{ x^{2}+(y-1)^{2}=4}\).

1. Punkt styczności należy do okręgu i spełnia równania szukanych prostych, tzn.

\(\displaystyle{ x_{0}^{2}+(y_{0}-1)^{2}=4}\)
\(\displaystyle{ y_{0}=\sqrt{2}x_{0}+b}\)

Stąd dostajemy: \(\displaystyle{ x_{0}^{2}+(\sqrt{2}x_{0}+b-1)^{2}=4}\), czyli
\(\displaystyle{ 3x_{0}^{2}+(2\sqrt{2}b-2\sqrt{2})x_{0}+b^{2}-2b-3=0}\)

Traktujemy powyższe równanie jako kwadratowe z parametrem b i wnosimy, że prosta i okrąg będą miały dokładnie jeden punkt wspólny, gdy powyższe równanie będzie miało dokładnie jedno rozwiązanie.

Stąd \(\displaystyle{ \Delta=(2\sqrt{2}b-2\sqrt{2})^{2}-12(b^{2}-2b-3)=-4(b^{2}-2b-11)=-4(b-1-2\sqrt{3})(b-1+2\sqrt{3})}\)
\(\displaystyle{ \Delta=0 b=1-2\sqrt{3}}\) lub \(\displaystyle{ b=1+2\sqrt{3}}\)

Zatem równania prostych sa postaci:
\(\displaystyle{ y=\sqrt{2}x+1-2\sqrt{3}}\)
lub
\(\displaystyle{ y=\sqrt{2}x+1+2\sqrt{3}}\).

[Auryn]

prawie tak jak mysleliemy dzieki wielkie