Sieczna okręgu

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
xanowron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1996
Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 247 razy

Sieczna okręgu

Post autor: xanowron »

Dany jest okrąg o środku w punkcie \(\displaystyle{ S(-4;7)}\) i promieniu długości \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\). Prosta \(\displaystyle{ k}\) przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ A(0;4)}\) i przecina dany okrąg w punktach \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ L}\). Oblicz iloczyn długości odcinków \(\displaystyle{ AK}\) i \(\displaystyle{ AL}\).


Własne rozwiązanie już mam, ale interesują mnie też inne pomysły. We wskazówce do zadania napisane jest aby skorzystać z tw. o siecznej i stycznej. ale jakoś nie widzę sensownego zastosowania tego tutaj.
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Sieczna okręgu

Post autor: piasek101 »

Jakoś za szybko mi wyszło (zawsze po 22.00 mam wątpliwości czy czegoś nie uprościłem).

Jeśli wynik : \(\displaystyle{ |AS|^2-5}\) to napiszę skąd mam.
Awatar użytkownika
Sherlock
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2783
Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 739 razy

Sieczna okręgu

Post autor: Sherlock »

Ja proponuję takie rozwiązanie (zamieniłem środek S na O):

Z twierdzenia o siecznej wynika, że:
\(\displaystyle{ |AK| \cdot |AL|=|AM| \cdot |AN|}\)
Wyznaczamy wzór prostej przechodzącej przez punkty A i O. Z układu równań liczymy punkty przecięcia się okręgu z obliczoną prostą. Liczymy długości |AM| oraz |AN| i mnożymy przez siebie

-- 27 września 2009, 22:39 --

Drugie rozwiązanie, ilustracja do rozwiązania piaska101
Z tw. siecznych wynika, że:
\(\displaystyle{ |AK| \cdot |AL|=|AY|^2}\)

a tam mamy trójkąt prostokątny AOY (O zamiast S), |AO| wyliczysz, |OY| znasz, |AY| policzysz z tw. Pitagorasa...
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Sieczna okręgu

Post autor: piasek101 »

Sherlock pisze:Drugie rozwiązanie, ilustracja do rozwiązania piaska101
Z tw. siecznych wynika, że...
Prawie trafiłeś, ale ,,samo mi wyszło" tylko z Pitagorasa.

Połączyć środek (S) okręgu ze środkiem cięciwy KL (niech to będzie M).
Oznaczenia :
|AK|=y
|KM|=x
Wtedy :

|AL|=y + 2x

\(\displaystyle{ |AK|\cdot|AL|=y(y+2x)}\)
Z Pitagorasa (trójkąt ASM) :

\(\displaystyle{ (y+x)^2+(\sqrt{5-x^2})^2=|AS|^2}\) (i wyjdzie z tego szukane).
Ostatnio zmieniony 28 wrz 2009, o 11:05 przez piasek101, łącznie zmieniany 1 raz.
xanowron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1996
Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 247 razy

Sieczna okręgu

Post autor: xanowron »

Heh, tak to jest jak się nigdy nie korzystało z jakiegoś twierdzenia. Ja zrobiłem to bez tego twierdzenia i też ładnie wyszło, ale deczko więcej pisania
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Sieczna okręgu

Post autor: piasek101 »

xanowron pisze:Heh, tak to jest jak się nigdy nie korzystało z jakiegoś twierdzenia. Ja zrobiłem to bez tego twierdzenia i też ładnie wyszło, ale deczko więcej pisania
Zauważ (co widać), że robiłem tylko z Pitagorasa - a więc lekko naciągając na poziomie gimnazjum.
ODPOWIEDZ