Dany jest okrąg o środku w punkcie \(\displaystyle{ S(-4;7)}\) i promieniu długości \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\). Prosta \(\displaystyle{ k}\) przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ A(0;4)}\) i przecina dany okrąg w punktach \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ L}\). Oblicz iloczyn długości odcinków \(\displaystyle{ AK}\) i \(\displaystyle{ AL}\).
Własne rozwiązanie już mam, ale interesują mnie też inne pomysły. We wskazówce do zadania napisane jest aby skorzystać z tw. o siecznej i stycznej. ale jakoś nie widzę sensownego zastosowania tego tutaj.
Sieczna okręgu
-
- Użytkownik
- Posty: 23493
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3263 razy
Sieczna okręgu
Jakoś za szybko mi wyszło (zawsze po 22.00 mam wątpliwości czy czegoś nie uprościłem).
Jeśli wynik : \(\displaystyle{ |AS|^2-5}\) to napiszę skąd mam.
Jeśli wynik : \(\displaystyle{ |AS|^2-5}\) to napiszę skąd mam.
- Sherlock
- Użytkownik
- Posty: 2783
- Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Pomógł: 739 razy
Sieczna okręgu
Ja proponuję takie rozwiązanie (zamieniłem środek S na O):
Z twierdzenia o siecznej wynika, że:
\(\displaystyle{ |AK| \cdot |AL|=|AM| \cdot |AN|}\)
Wyznaczamy wzór prostej przechodzącej przez punkty A i O. Z układu równań liczymy punkty przecięcia się okręgu z obliczoną prostą. Liczymy długości |AM| oraz |AN| i mnożymy przez siebie
-- 27 września 2009, 22:39 --
Drugie rozwiązanie, ilustracja do rozwiązania piaska101
Z tw. siecznych wynika, że:
\(\displaystyle{ |AK| \cdot |AL|=|AY|^2}\)
a tam mamy trójkąt prostokątny AOY (O zamiast S), |AO| wyliczysz, |OY| znasz, |AY| policzysz z tw. Pitagorasa...
Z twierdzenia o siecznej wynika, że:
\(\displaystyle{ |AK| \cdot |AL|=|AM| \cdot |AN|}\)
Wyznaczamy wzór prostej przechodzącej przez punkty A i O. Z układu równań liczymy punkty przecięcia się okręgu z obliczoną prostą. Liczymy długości |AM| oraz |AN| i mnożymy przez siebie
-- 27 września 2009, 22:39 --
Drugie rozwiązanie, ilustracja do rozwiązania piaska101
Z tw. siecznych wynika, że:
\(\displaystyle{ |AK| \cdot |AL|=|AY|^2}\)
a tam mamy trójkąt prostokątny AOY (O zamiast S), |AO| wyliczysz, |OY| znasz, |AY| policzysz z tw. Pitagorasa...
-
- Użytkownik
- Posty: 23493
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3263 razy
Sieczna okręgu
Prawie trafiłeś, ale ,,samo mi wyszło" tylko z Pitagorasa.Sherlock pisze:Drugie rozwiązanie, ilustracja do rozwiązania piaska101
Z tw. siecznych wynika, że...
Połączyć środek (S) okręgu ze środkiem cięciwy KL (niech to będzie M).
Oznaczenia :
|AK|=y
|KM|=x
Wtedy :
|AL|=y + 2x
\(\displaystyle{ |AK|\cdot|AL|=y(y+2x)}\)
Z Pitagorasa (trójkąt ASM) :
\(\displaystyle{ (y+x)^2+(\sqrt{5-x^2})^2=|AS|^2}\) (i wyjdzie z tego szukane).
Ostatnio zmieniony 28 wrz 2009, o 11:05 przez piasek101, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 1996
- Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 247 razy
Sieczna okręgu
Heh, tak to jest jak się nigdy nie korzystało z jakiegoś twierdzenia. Ja zrobiłem to bez tego twierdzenia i też ładnie wyszło, ale deczko więcej pisania
-
- Użytkownik
- Posty: 23493
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3263 razy
Sieczna okręgu
Zauważ (co widać), że robiłem tylko z Pitagorasa - a więc lekko naciągając na poziomie gimnazjum.xanowron pisze:Heh, tak to jest jak się nigdy nie korzystało z jakiegoś twierdzenia. Ja zrobiłem to bez tego twierdzenia i też ładnie wyszło, ale deczko więcej pisania