równania okręgu

[jareeny]

Treść:

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ k}\) okrąg o równaniu \(\displaystyle{ (x-k)^{2}+y^{2}=9}\) ma z okręgiem o równaniu \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=1}\):

a) dwa punkty wspólne
b) dokładnie jeden punkt wspólny.

Więc z równań mamy:
\(\displaystyle{ (x-k)^{2}+y^{2}=9\\
S_{1}=(k;0)\\
r_{1}=3\\
\\
x^{2}+y^{2}=1\\
S_{2}=(0;0)\\
r_{2}=\sqrt{1} = 1}\)

Teraz liczę długość odcinka \(\displaystyle{ |S_{1}S_{2}|}\):
\(\displaystyle{ |S_{1}S_{2}|=\sqrt{(x_{S_{2}} - x_{S_{1}})^{2} + (y_{S_{2}} - y_{S_{1}})^{2}}
\\
|S_{1}S_{2}|=|k|}\)

I stoję w miejscu

Proszę o pomoc

Edit: Racja z tym \(\displaystyle{ |k|}\) : )

[klaustrofob]

jeden punkt wspólny: styczne wewnętrznie lub zewnętrznie. w pierwszym przypadku odległość środków równa różnicy promieniu, w drugim sumie. dwa punkty wspólne: odległość środków pomiędzy różnicą a sumą promieni.

jeżeli nie wiesz, czy k>0, to nie wolno pisać \(\displaystyle{ |S_1S_2|=k}\). jedyne, co możesz napisać, to \(\displaystyle{ |S_1S_2|=|k|}\)

[jareeny]

Dobra zrozumiałem w końcu o co chodzi...

\(\displaystyle{ |r_{2}-r_{1}|<|S_{1}S_{2}|<r_{2}+r_{1}\\
|3-1|<|k|<3+1\\
2<|k|<4\\}\)

Czyli mamy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
|k|>2\\
|k|<4\\
\end{cases}}\)

Co daje:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
k<-2 \ lub \ k>2\\
-4<k<4\\
\end{cases}}\)

Po rozrysowaniu na osi wychodzi że okręgi będą miały dwa punkty wspólne dla:
\(\displaystyle{ k\in(-4;2)\cup(2;4)}\)