współrzędne wierzchołków trapezu
-
cheox
- Użytkownik
- Posty: 29
- Rejestracja: 29 kwie 2009, o 21:00
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 1 raz
współrzędne wierzchołków trapezu
W trapezie \(\displaystyle{ ABCD}\), w którym wysokością jest odcinek \(\displaystyle{ DE}\), dane są współrzędne wektora \(\displaystyle{ \vec{DE}=[4;-4]}\) i współrzędne punktu \(\displaystyle{ B=(5,4)}\) ramię \(\displaystyle{ AD}\) zawiera się w prostej o równaniu \(\displaystyle{ y=7x+25}\) w trapez wpisano koło. Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków tego trapezu.
Ostatnio zmieniony 22 wrz 2009, o 23:04 przez lukki_173, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
gott314
- Użytkownik
- Posty: 233
- Rejestracja: 15 kwie 2009, o 16:48
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 38 razy
współrzędne wierzchołków trapezu
Niech: \(\displaystyle{ A(x_A,7x_A+25),D(x_D,7x_D+25),C(x_C,y_C)}\).
Mamy cztery niewiadome (\(\displaystyle{ x_A,x_D,x_C,y_C}\)). Aby je obliczyć skorzystałem z czterech własności:
1) W czworokąt da się wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków czworokąta są równe.
2) Wektor \(\displaystyle{ \vec{AB}}\) jest równoległy do wektora \(\displaystyle{ \vec{DC}}\).
3) Wektor \(\displaystyle{ \vec{AB}}\) jest prostopadły do wektora \(\displaystyle{ \vec{DE}}\).
4) Skorzystałem z dwóch wzorów na pole powierzchni trapeza po przez przyrównanie ich do siebie (
Zatem:
\(\displaystyle{ \begin{cases} |\vec{AD}|+|\vec{BC}|=|\vec{AB}|+|\vec{DC}|\\ \vec{AB}\parallel\vec{DC} \Rightarrow |det(\vec{AB},\vec{DC})|=0 \\ \vec{AB}\perp\vec{DE} \Rightarrow \vec{AB}\circ\vec{DE}=0 \\ P_1=P_2 \Rightarrow \frac{1}{4} \cdot \frac{|\vec{AB}|+|\vec{DC}|}{|\vec{AB}|-|\vec{DC}|} \cdot \sqrt{|\vec{AB}|-|\vec{DC}|+|\vec{AD}|+|\vec{BC}|} \cdot \sqrt{|\vec{AB}|-|\vec{DC}|-|\vec{AD}|+|\vec{BC}|} \end{cases}}\)\(\displaystyle{ \cdot \sqrt{|\vec{AB}|-|\vec{DC}|+|\vec{AD}|-|\vec{BC}|}\cdot\sqrt{-|\vec{AB}|+|\vec{DC}|+|\vec{AD}|+|\vec{BC}|}= \frac{|\vec{AB}|+|\vec{DC}|}{2} \cdot |\vec{DE}|}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_A= -\frac{13}{3} \\ x_D=- \frac{17}{3}\\x_C= \frac{31}{39}\\y_C=-\frac{320}{39}\end{cases} \vee \begin{cases} x_A= -\frac{13}{3} \\ x_D=-3\\x_C=- \frac{17}{15}\\y_C=\frac{88}{15}\end{cases}}\)
Podany układ równań obliczyłem przy pomocy programu matematycznego. Nie polecam go do rozwiązywania na kartce (oczywiście, jeśli masz kupę czasu i Ci się na prawdę bardzo nudzi to tak ). Może i jest jakaś szybsza metoda dojścia do rozwiązania tego zadania... Trzeba poprostu znać pewną zależność w trapezie (bądź czworoboku) i tyle.
Mamy cztery niewiadome (\(\displaystyle{ x_A,x_D,x_C,y_C}\)). Aby je obliczyć skorzystałem z czterech własności:
1) W czworokąt da się wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków czworokąta są równe.
2) Wektor \(\displaystyle{ \vec{AB}}\) jest równoległy do wektora \(\displaystyle{ \vec{DC}}\).
3) Wektor \(\displaystyle{ \vec{AB}}\) jest prostopadły do wektora \(\displaystyle{ \vec{DE}}\).
4) Skorzystałem z dwóch wzorów na pole powierzchni trapeza po przez przyrównanie ich do siebie (
Zatem:
\(\displaystyle{ \begin{cases} |\vec{AD}|+|\vec{BC}|=|\vec{AB}|+|\vec{DC}|\\ \vec{AB}\parallel\vec{DC} \Rightarrow |det(\vec{AB},\vec{DC})|=0 \\ \vec{AB}\perp\vec{DE} \Rightarrow \vec{AB}\circ\vec{DE}=0 \\ P_1=P_2 \Rightarrow \frac{1}{4} \cdot \frac{|\vec{AB}|+|\vec{DC}|}{|\vec{AB}|-|\vec{DC}|} \cdot \sqrt{|\vec{AB}|-|\vec{DC}|+|\vec{AD}|+|\vec{BC}|} \cdot \sqrt{|\vec{AB}|-|\vec{DC}|-|\vec{AD}|+|\vec{BC}|} \end{cases}}\)\(\displaystyle{ \cdot \sqrt{|\vec{AB}|-|\vec{DC}|+|\vec{AD}|-|\vec{BC}|}\cdot\sqrt{-|\vec{AB}|+|\vec{DC}|+|\vec{AD}|+|\vec{BC}|}= \frac{|\vec{AB}|+|\vec{DC}|}{2} \cdot |\vec{DE}|}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_A= -\frac{13}{3} \\ x_D=- \frac{17}{3}\\x_C= \frac{31}{39}\\y_C=-\frac{320}{39}\end{cases} \vee \begin{cases} x_A= -\frac{13}{3} \\ x_D=-3\\x_C=- \frac{17}{15}\\y_C=\frac{88}{15}\end{cases}}\)
Podany układ równań obliczyłem przy pomocy programu matematycznego. Nie polecam go do rozwiązywania na kartce (oczywiście, jeśli masz kupę czasu i Ci się na prawdę bardzo nudzi to tak ). Może i jest jakaś szybsza metoda dojścia do rozwiązania tego zadania... Trzeba poprostu znać pewną zależność w trapezie (bądź czworoboku) i tyle.