wzajemne położenie prostej i okręgu (z ukł równań)

[Mumla]

Rozwiąż układ równań i wykonaj jego ilustrację graficzną:

\(\displaystyle{ (x+1)^{2} + (y-3)^{2}=8\\
x-y=0}\)

[miodzio1988]

1) Okrąg
2) prosta .
Narysuj to.

[Mumla]

no fajnie, ale to mi nic nie pomogło. Tam chyba będzie równianie kwadratowe, a ja zwyczajnie nie pamiętam jak to się robiło.

Proszę o pomoc.

[miodzio1988]

Nie umiesz koła narysowac?

[Mumla]

doszłam do
\(\displaystyle{ 2y^{2}-4y+2=0}\)

i nijak ruszyć dalej z tym

[lukasz1804]

Najpierw rozwiążmy ten układ. Z drugiego równania dostajemy \(\displaystyle{ y=x}\). Wstawiając zatem do pierwszego równania \(\displaystyle{ x}\) w miejsce \(\displaystyle{ y}\) mamy \(\displaystyle{ (x+1)^2+(x-3)^2=8}\). Mamy zatem \(\displaystyle{ 2x^2-4x+2=0}\), skąd \(\displaystyle{ x=1}\). Wracając do zmiennej \(\displaystyle{ y}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ y=1}\) i w konsekwencji jedynym rozwiązaniem układu równań jest para \(\displaystyle{ (x,y)=(1,1)}\).

Rozwiązując graficznie wystarczy naszkicować okrąg o środku \(\displaystyle{ (-1,3)}\) i promieniu \(\displaystyle{ 2\sqrt{2}}\) (oczywiście rysunek będzie tylko przybliżony ze względu na niewymierną wartość promienia okręgu) oraz prostą \(\displaystyle{ y=x}\) i sprawdzić, że punkt \(\displaystyle{ (1,1)}\) jest jedynym punktem wspólnym danego okręgu i danej prostej.

Pozdrawiam

[Muchomorek]

Najpierw rozwiążmy ten układ. Z drugiego równania dostajemy \(\displaystyle{ y=x}\). (oczywiście rysunek będzie tylko przybliżony ze względu na niewymierną wartość promienia okręgu)

Rysunek nie będzie przybliżony, bo odcinek \(\displaystyle{ \sqrt 2}\) można przecież skonstruować, jako przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych o długości 1, więc będzie dokładny.

[Mumla]

czy ktoś mógłby rozwiązać to równanie gdzie w efekcie wyszło x=1. Nie pamiętam za nic jak sie robiło kwadratowe a wychodzi mi ciągle \(\displaystyle{ \Delta = 16-16}\) czyli 0 nie wiem skąd ; //

no i czy to co mi wyszło z tymi y jest źle?

[czeslaw]

Policzyłas deltę. Skoro jest równa 0, to podstaw do wzoru \(\displaystyle{ x_{0} = -\frac{b}{2a}}\). Inna sprawa, że od razu widac wzór skróconego mnożenia i powinnas z niego skorzystać.

[Mumla]

O rany bo zwariuję z matmą!
\(\displaystyle{ (x+1) ^{2} (x-3) ^{2} =8 \Rightarrow
x ^{2} +2x+1+x ^{2}-6x+9-8=0 \Rightarrow
2x ^{2} -4x+2=0 \Rightarrow
\Delta =16-16 \Rightarrow
\Delta =0}\)

tak czy nie? co źle i jak to pchnąć.?-- 22 wrz 2009, o 17:46 --po podstawieniu wychodzi mi to samo w x1 i x2

[Muchomorek]

W czym problem? Wyszedł jeden punkt wspólny prostej i okręgu (1,1), czyli prosta jest styczna do okręgu, co pokaże również rysunek.