dwie proste i napisać równanie płaszczyzny

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Simong
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 218
Rejestracja: 10 wrz 2006, o 17:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wieliczka
Podziękował: 170 razy
Pomógł: 7 razy

dwie proste i napisać równanie płaszczyzny

Post autor: Simong »

AHej
mam takie coś:
Zbadać wzajemne położenie prostych (poniżej) i podać równanie płaszczyzny je zawierające.

Wiem, ze należy podać wektory i sprawdzić z nich. Ale nie mam pojęcia kompletnie jak to zrobić.

\(\displaystyle{ l_{1} = \frac{x-3}{-2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{2} \\
l_{2} =\begin{cases} 2x+2y+z-11=0\\5x+4y+3z+1=0\end{cases}}\)


To co wiem, to że pierwsza prosta jest równoległa do wektora [-2,1,2]
Potem robię iloczyn wektorowy i wychodzi [2,-1,-2]. Czli rozumiem, że ten drugi wektor jest to wektor równoległy do prostej krawędziowej. Załóżmy, że NIE ZAUWAŻYLIŚMY, iż jest on przeciwny od \(\displaystyle{ \vec{v_{1}}}\).
Ale co dalej i dlaczego tak a nie inaczej, ajk sobie sprowadzić postać drugą do posataci parametrycznej? Błagam to dla mnei ważne, nawet jeśli to niepotrzebne do zadania, chcę bardzo się tego nauczyć (sprowadzania).
Dzięki z góry. (Wiem że może niektórych prostych rzeczy nie zauważam, ale uczę się pół wakacji tej matmy do poprawki, którą mam już w czwartek i jest bardzo cieżko)





Jak możecie to powiedzcie jeszcze, co oznacza symbol: \(\displaystyle{ \oint_{b}^{a}}\)
Kamil_B
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1958
Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 361 razy

dwie proste i napisać równanie płaszczyzny

Post autor: Kamil_B »

Simong pisze: To co wiem, to że pierwsza prosta jest równoległa do wektora [-2,1,2]
Zgadzam się.
Simong pisze: Potem robię iloczyn wektorowy i wychodzi [2,-1,-2].
Rozumiem, że liczysz \(\displaystyle{ (2,2,1) \times (5,4,3)}\).Jesli tak to wynik jest ok.
Simong pisze: Czli rozumiem, że ten drugi wektor jest to wektor równoległy do prostej krawędziowej. Załóżmy, że NIE ZAUWAŻYLIŚMY, iż jest on przeciwny od \(\displaystyle{ \vec{v_{1}}}\).
Tak, zgadza się -jest równoległy. To, że jest przeciwny nie ma znaczenia.
Sprawdź ,że jeśli liczyłbyś \(\displaystyle{ (5,4,3)\times (2,2,1)}\) otrzymałbyś wektor \(\displaystyle{ (-2,1,2)}\)czyli zgodny z wektorem \(\displaystyle{ \vec{v_{1}}}\)
Simong pisze: Ale co dalej i dlaczego tak a nie inaczej, ajk sobie sprowadzić postać drugą do posataci parametrycznej? Błagam to dla mnei ważne, nawet jeśli to niepotrzebne do zadania, chcę bardzo się tego nauczyć (sprowadzania).
Stąd wynika że proste \(\displaystyle{ l_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ l_{2}}\) są równoległe (bo ich wektory kierunkowe są równoległe).
Aby znaleźć ta płaszczyznę wziąć dwa punkty (po jednym z każdej prostej) np. \(\displaystyle{ P_{1}=(3,2,1) \in l_{1}}\) oraz jakiś punkt \(\displaystyle{ P_{2} \in l_{2}}\) (oczywiście \(\displaystyle{ P_{1} \neq P_{2}}\) ).
Teraz wystarczy zauważyć, że wektor \(\displaystyle{ \vec{v_{1}}}\) oraz wektor łączący \(\displaystyle{ P_{1}}\) z \(\displaystyle{ P_{2}}\) rozpinaja szukaną płaszczyznę (muszą być nierównolegle te wektory ! ), bierzemy jeszcze np. punkt \(\displaystyle{ P_{1}}\) i piszemy równanie parametryczne tej płaszczyzny.

Co do równania parametrycznego prostej \(\displaystyle{ l_{2}}\) to zapisujemy ten układ równań w macierz i rozwiązujemy go .Wyjdzie nieskończenie wiele rozwiązań zaleznych od jednego parametru. Za aprametr bierzemy sobie np. zmienną \(\displaystyle{ z}\) i w zależności od niej wyzanczamy \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\). I mamy nasze równanie parametryczne
Simong
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 218
Rejestracja: 10 wrz 2006, o 17:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wieliczka
Podziękował: 170 razy
Pomógł: 7 razy

dwie proste i napisać równanie płaszczyzny

Post autor: Simong »

Dzięki serdeczne za pomoc
Chciałem Ci kliknąć "pomógł", ale mi sięwyswielta "przkroczono limit serwera, nawet nie mogę napisać Ci pw.
Szymek

-- 22 września 2009, 20:39 --

proszę o usunięcie tego postu
Łapa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 56
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 19:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rybnik
Podziękował: 5 razy

dwie proste i napisać równanie płaszczyzny

Post autor: Łapa »

Kamil_B pisze:Teraz wystarczy zauważyć, że wektor \(\displaystyle{ \vec{v_{1}}}\) oraz wektor łączący \(\displaystyle{ P_{1}}\) z \(\displaystyle{ P_{2}}\) rozpinaja szukaną płaszczyznę (muszą być nierównolegle te wektory ! ), bierzemy jeszcze np. punkt \(\displaystyle{ P_{1}}\) i piszemy równanie parametryczne tej płaszczyzny.

Co do równania parametrycznego prostej \(\displaystyle{ l_{2}}\) to zapisujemy ten układ równań w macierz i rozwiązujemy go .Wyjdzie nieskończenie wiele rozwiązań zaleznych od jednego parametru. Za aprametr bierzemy sobie np. zmienną \(\displaystyle{ z}\) i w zależności od niej wyzanczamy \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\). I mamy nasze równanie parametryczne
ja w swoim zadaniu mam juz wyznaczony ten wektor \(\displaystyle{ P1P2=[-3,-3,4]}\) z punktow \(\displaystyle{ P1=(3,4,-1) i P2(0,1,3)}\) i ten wektor\(\displaystyle{ v=[2,1,-3]}\) i nie potrafie tego dalej obliczyc ;/ nie wiem jak w ta parametryczna postac zamienic i co dalej... moglby mi ktos to pokazac na podstawie przykladu? albo to dalej rozwiazac do konca, bylbym bardzo wdzieczny...
Kamil_B
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1958
Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 361 razy

dwie proste i napisać równanie płaszczyzny

Post autor: Kamil_B »

Masz podane dwa wektory : \(\displaystyle{ [-3,-3,4]}\) oraz \(\displaystyle{ [2,1,-3]}\).
Rozpinają one szukaną płaszczyzne.
Wystarczy wziąć jescze np. punkt \(\displaystyle{ P_{1}}\) i podstawić do równania parametrycznego, które znajdziesz np. tutaj: 142244.htm
ODPOWIEDZ