Równanie prostej przecinającej elipsę w pkt. sym. wzg. pkt A

[si1van]

Napisać równanie prostej \(\displaystyle{ l}\), do której należy punkt \(\displaystyle{ A(1,1)}\) i która przecina elipsę \(\displaystyle{ 4x^2+9y^2-36=0}\) w punktach symetrycznych względem punktu \(\displaystyle{ A}\).

Proszę o rozwiązanie lub podpowiedź od czego zacząć i jakim tropem iść.

[lukasz1804]

Skoro prosta l przechodzi przez punkt A, to jej równanie jest postaci \(\displaystyle{ x=1}\) lub \(\displaystyle{ y=ax+1-a}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) jest pewną liczbą.
Łatwo odrzucamy pierwszą możliwość.
Obierzmy dowolny punkt \(\displaystyle{ B(x,ax+1-a)}\) przecięcia prostej i elipsy.
Ze wzoru na współrzędne środka odcinka dostajemy, że punkt B' symetryczny do A względem B ma współrzędne \(\displaystyle{ (2-x,2-(ax+1-a))=(2-x,1+a-ax)}\).
Wystarczy teraz podstawić otrzymane współrzędne punktów B i B' do równania elipsy i wyznaczyć z powstałego układu równań wartość parametru \(\displaystyle{ a}\).

[si1van]

Skoro prosta l przechodzi przez punkt A, to jej równanie jest postaci \(\displaystyle{ x=1}\) lub \(\displaystyle{ y=ax+1-a}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) jest pewną liczbą.
Łatwo odrzucamy pierwszą możliwość.
Obierzmy dowolny punkt \(\displaystyle{ B(x,ax+1-a)}\) przecięcia prostej i elipsy.
Ze wzoru na współrzędne środka odcinka dostajemy, że punkt B' symetryczny do A względem B ma współrzędne \(\displaystyle{ (2-x,2-(ax+1-a))=(2-x,1+a-ax)}\).
Wystarczy teraz podstawić otrzymane współrzędne punktów B i B' do równania elipsy i wyznaczyć z powstałego układu równań wartość parametru \(\displaystyle{ a}\).

Metoda dobra, ale strasznie karkołomna. Jestem przekonany, że musi być jeszcze inna metoda, prostsza w obliczeniach.