Przez punkt wspólny płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) i prostej \(\displaystyle{ l}\) poprowadzić prostą leżącą w płaszczyźnie \(\displaystyle{ \pi}\) i prostopadłej do \(\displaystyle{ l}\).
\(\displaystyle{ {\pi}: x+y+z+1=0}\)
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} y-1=0 \\ z+1=0 \end{cases}}\)
Punktem wspólnym będzie \(\displaystyle{ P(-1,1,1)}\).
\(\displaystyle{ m=?}\) , \(\displaystyle{ m{\in}{\pi}}\) , \(\displaystyle{ m{\perp}l}\)
\(\displaystyle{ \vec{n}{\perp}{\pi}}\)
\(\displaystyle{ \vec{n}=[1,1,1]}\)
Z tego wynika, że prosta \(\displaystyle{ m{\perp}\vec{n}}\)
Jak określić kierunek prostej l? Jakie jest równanie ogólne tej prostej?
Czy prosta l to prosta o stałych współrzędnych y i z i zmiennym x?
Jeżeli tak to chyba kierunkiem prostej będzie wersor: \(\displaystyle{ \vec{v}=[1,0,0]}\)
Czyli mam kierunki prostej \(\displaystyle{ l}\) i płaszczyzny \(\displaystyle{ {\pi}}\). Z tego wynika, że wektor kierunkowy prostej \(\displaystyle{ m}\) ma być prostopadły do \(\displaystyle{ \vec{n}=[1,1,1]}\) i \(\displaystyle{ \vec{v}=[1,0,0]}\). Obliczając iloczyn wektorowy tych wektorów otrzymam trzeci wektor prostopadły do obydwu. Będzie on jednocześnie należał do płaszczyzny \(\displaystyle{ {\pi}}\).
Po obliczeniu iloczynu wychodzi: \(\displaystyle{ \vec{w}=[0,-1,1]}\), jest to kierunek prostej m.
Zapisuję prostą m przechodzącą przez punkt \(\displaystyle{ P(-1,1,1)}\) i o kierunku \(\displaystyle{ \vec{w}}\) w postaci parametrycznej:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = -1 + 0 \cdot t \\ y= 1 -1 \\ z= 1 + 1 \cdot t \end{cases}}\)
Proszę napisać, czy moje rozumowanie jest poprawne. Czy jest jakaś lepsza metoda na rozwiązanie tego zadania?
Prosta i płaszczyzna
-
- Użytkownik
- Posty: 1958
- Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 361 razy
Prosta i płaszczyzna
Pora już troche późna i ma nadzieję, że dobrze zrozumiałem treść
Równanie ogólne zawsze kojarzy mi się z płaszczyzną , ale za to wiem jak wyznaczyc równanie parametryczne prostej \(\displaystyle{ l}\) .Zauważmy, że uklad równań :
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} y-1=0 \\ z+1=0 \end{cases}}\)
Możemy zapisać w postaci:
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x=0+1 \cdot t\\ y=0+0 \cdot t \\ z=-1+ 0\cdot t \ \ \ t \in \mathbb{R}\end{cases}}\)
Stąd łatwo odczytujemy wektor kierunkowy prostej l a mianowice: \(\displaystyle{ (1,0,0).}\)
Swoją drogą twoje rozumowanie również jest poprawne
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = -1 + 0\cdot t \\ y= 1 -1 \cdot t \\ z= -1 + 1 \cdot t \end{cases}}\)
Powinno być : \(\displaystyle{ P=(-1,1,-1)}\)si1van pisze:Punktem wspólnym będzie \(\displaystyle{ P(-1,1,1)}\).
Po kolei :si1van pisze: Jak określić kierunek prostej l? Jakie jest równanie ogólne tej prostej?
Czy prosta l to prosta o stałych współrzędnych y i z i zmiennym x?
Jeżeli tak to chyba kierunkiem prostej będzie wersor: \(\displaystyle{ \vec{v}=[1,0,0]}\)
Równanie ogólne zawsze kojarzy mi się z płaszczyzną , ale za to wiem jak wyznaczyc równanie parametryczne prostej \(\displaystyle{ l}\) .Zauważmy, że uklad równań :
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} y-1=0 \\ z+1=0 \end{cases}}\)
Możemy zapisać w postaci:
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x=0+1 \cdot t\\ y=0+0 \cdot t \\ z=-1+ 0\cdot t \ \ \ t \in \mathbb{R}\end{cases}}\)
Stąd łatwo odczytujemy wektor kierunkowy prostej l a mianowice: \(\displaystyle{ (1,0,0).}\)
Swoją drogą twoje rozumowanie również jest poprawne
Zgadzam się.si1van pisze: Czyli mam kierunki prostej \(\displaystyle{ l}\) i płaszczyzny \(\displaystyle{ {\pi}}\). Z tego wynika, że wektor kierunkowy prostej \(\displaystyle{ m}\) ma być prostopadły do \(\displaystyle{ \vec{n}=[1,1,1]}\) i \(\displaystyle{ \vec{v}=[1,0,0]}\). Obliczając iloczyn wektorowy tych wektorów otrzymam trzeci wektor prostopadły do obydwu. Będzie on jednocześnie należał do płaszczyzny \(\displaystyle{ {\pi}}\).
Po obliczeniu iloczynu wychodzi: \(\displaystyle{ \vec{w}=[0,-1,1]}\), jest to kierunek prostej m.
Po uwzględnieniu moich poprawek powinno być:si1van pisze: Zapisuję prostą m przechodzącą przez punkt \(\displaystyle{ P(-1,1,1)}\) i o kierunku \(\displaystyle{ \vec{w}}\) w postaci parametrycznej:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = -1 + 0 \cdot t \\ y= 1 -1 \\ z= 1 + 1 \cdot t \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = -1 + 0\cdot t \\ y= 1 -1 \cdot t \\ z= -1 + 1 \cdot t \end{cases}}\)
Szczerze nie wiem czy jest jakaś lepsza metoda. Ja również bym raczej szedl w tym kierunku co Tysi1van pisze: Proszę napisać, czy moje rozumowanie jest poprawne. Czy jest jakaś lepsza metoda na rozwiązanie tego zadania?
Prosta i płaszczyzna
Chyba powinno być tak:Kamil_B pisze:Równanie ogólne zawsze kojarzy mi się z płaszczyzną , ale za to wiem jak wyznaczyc równanie parametryczne prostej \(\displaystyle{ l}\) .Zauważmy, że uklad równań :
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} y-1=0 \\ z+1=0 \end{cases}}\)
Możemy zapisać w postaci:
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x=0+1 \cdot t\\ y=0+0 \cdot t \\ z=-1+ 0\cdot t \ \ \ t \in \mathbb{R}\end{cases}}\)
Stąd łatwo odczytujemy wektor kierunkowy prostej l a mianowice: \(\displaystyle{ (1,0,0).}\)
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x=0+1 \cdot t\\ y=1+0 \cdot t \\ z=-1+ 0\cdot t \ \ \ t \in \mathbb{R}\end{cases}}\)
Ten zapis ułatwia odczytanie kierunku prostej. Dzięki. Teraz już będę wiedział jak zapisać taką prostą w jaśniejszej postaci.