Punkt Torricellego

mennandore · Post autor: **mennandore** » 18 wrz 2009, o 10:40

Witam, interesuje mnie przeprowadzenie dowodu odnośnie punktu Torricellego ale za pomocą geometrii analitycznej. Osobiście myślałem nad tym ze gdyby trójkąt umieścić w układzie współrzędnych, w nim umieścić punkt \(\displaystyle{ T}\) o współrzędnych \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), a następnie poprowadzić z niego odcinki do wszystkich wierzchołków i nazwać je np. \(\displaystyle{ a, b, c}\). Później znaleźć funkcje \(\displaystyle{ L=a+b+c}\), taka ze \(\displaystyle{ L=f(x,y)}\), a następnie znaleźć jej minimum. Próbowałem tak robić ale jakieś straszne cuda na kiju mi wychodziły. Mógłby się ktoś tym zająć ?

nuclear · Post autor: **nuclear** » 18 wrz 2009, o 15:07

nawet ciekawe zadanie.

Ja bym to troszeczkę uprościł oznaczając trójkąt jak na rysunku

czyli nasza funkcja przyjmuje postać
\(\displaystyle{ L=\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{(x-a)^2+y^2}+\sqrt{(x-b)^2+(y-c)^2}}\)
teraz teoretycznie znalezienie minimum tej funkcji jest dość kłopotliwe jedyną możliwością jest użycie programów typu mathematica. Natomiast dużo prościej zadanie przedstawia jeżeli mielibyśmy znaleźć punkty którego suma kwadratów odległości jest najmniejsza.

mennandore · Post autor: **mennandore** » 18 wrz 2009, o 17:09

A jeszcze jakby uproscic i zalozyc ze to trojkat rownoramienny? Wtedy postac naszej funkcji sie tez znacznie urpsci ze wzgledu na symetrie, i zamiast 3 czlonow bedziemy miec 2. Wlasnie probowalem cos takiego nawet ale nie wychodzi mi ... gdy chcialem przyrownac pochodna do zera wychodzilo mi rownanie kwadratowe bez rozwiazania :/ moze gdzies zrobilem blad ? Moglby ktos sie zajac takim wlasnie przypadkiem ? I rozwiac go tutaj ?

nuclear · Post autor: **nuclear** » 18 wrz 2009, o 21:43

przypuszczam że tym punktem jest środek wszystkiego w tym trójkącie nazwijmy go punktem G. Więc rozważmy funkcję która liczy różnicę w sumie odległości punktu przesuniętego od punktu G o wektor \(\displaystyle{ \vec{a}=[p,q]}\) i sumie odległości puntu wierzchołków od punktu G.
Wystarczy teraz wykazać że nasza funkcja jest zawsze (niezależnie od przyjętego wektora a) większa od 0.

Innego pomysłu na to zadanie nie mam.

mennandore · Post autor: **mennandore** » 19 wrz 2009, o 00:37

hm hm , a jeszcze odnosnie mojego poprzedniego posta? Czy ktos moglby sie wziac nawet za ten "uproszczony" przypadek z trojkatem rownoramiennym? Budujemy funkcje tak jak to napisal wczesniej nuclear, i liczymy ekstremum. Ktos moglby to zrobic ?I czy wogole tym "moim" sposobem da sie udowodnic twierdzenia odnosnie punktu Torricellego? Wydaje mi sie ze tak, no bo niby czemy nie ?