Mam problem z dwoma zadaniami typu "udowodnij, że...&q

[gentle_man]

Oto zadania:

1. W czworokącie ABCD przekątne są prostopadłe i przecinają się w punkcie E. Trójkąty ABE i CDE mają równe pola. Uzasadnij, że trójkąty ADE i BCE są podobne.

2. W dowolnym trapezie ABCD, punkt P jest punktem przecięcia się przekątnych. Udowodnij, że pole trójkąta APD jest równe polu trójkąta BPC.

Proszę o pełne rozwiązanie, jeżeli można to dołączcie rysunki.

gentle_man

[juzef]

1. Z założenia \(\displaystyle{ \frac{|AE| |BE|}{2}=\frac{|DE| |CE|}{2}}\), czyli \(\displaystyle{ \frac{|AE|}{|DE|}=\frac{|CE|}{|BE|}}\). A to już dowodzi podobieństwa ADE i BCE.

2. Zakładam, że AB||CD, w przeciwnym razie pola tych trójkątów chyba nie będą równe. Trójkąty ACD i BCD mają wspólną podstawę i równe wysokości na nią opuszczone, a zatem jednakowe pola. Wystarczy od nich odjąć pole trójkąta CPD.

[gentle_man]

Jak to AC||CD ? Przecież to niemożliwe, żeby te dwa odcinki były równoległe! Pierwsze zadanie chwytam, ale drugiego to jeszcze nie. Spróbuj to jakoś sprecyzować, to może się połapię.

-=EDIT=-
THNX juzef teraz już wszystko chwytam .

[juzef]

Jasne, literówka. Teraz jest dobrze.

[gentle_man]

Kurde, jeszcze raz coś pogubiłem. W zadaniu chodziło o udowodnienie, że to trójkąty APD i BPC mają mieć równe pola. Aha i ten trapez jest DOWOLNYM trapezem, czyli ani równoramienny, ani prostokątny. A to z kolei znaczy, że te trójkąty mogą mieć różne pola. Trzeba jakoś obliczyć wartość tych pól i porównać je. Dopiero wtedy to udowodnimy.

[juzef]

Ja nigdzie nie zakładałem, że ten trapez jest równoramienny czy prostokątny. Zauważ, że trójkąty ACD i BCD mają równe pola w dowolnym trapezie, pisałem poprzednio dlaczego tak jest. Jeśli odejmiemy od nich jednakowe pole, to pozostałe trójkąty będą miały jednakowe pola. Wszystko gra. Pewnie da się to zrobić jakoś rachunkowo, ale nie ma takiej potrzeby.

[gentle_man]

Dzięki juzef, teraz już chwytam wszystko. Po prostu dziś mam jakiś słaby dzień i nic nie rozumiem . Dzięki za pomoc.