Punkt na okręgu, opytmalizacja

xanowron · Post autor: **xanowron** » 15 wrz 2009, o 17:42

Dane są punkty \(\displaystyle{ A(1,0)}\), \(\displaystyle{ B(-1,1)}\). Punkt \(\displaystyle{ C}\) należy do okręgu o równaniu \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=1}\). Znajdź współrzędne punktu \(\displaystyle{ C}\), tak aby pole trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) było największe.

Wprawdzie rozwiązałem już to zadanie, ale chciałbym zobaczyć inne rozwiązania.

klaustrofob · Post autor: **klaustrofob** » 15 wrz 2009, o 20:22

najprościej chyba tak: niech D=punkt przecięcia prostej AB z okręgiem. pole trójkąta ABC=pole tr. ADC+pole tr. DBC. oba trójkąty mają ustalone podstawy, więc ich pola zależą od wysokości w taki sposób, że są jej rosnącymi funkcjami. zatem pole ABC jest sumą dwóch funkcji rosnących - obie jednocześnie przyjmują max. przyjmują je wtedy, gdy pole tr. ADC jest max, czyli gdy jest równoramienny, a punkt C jest punktem wspólnym prostej prostopadłej do AC przechodzącej przez środek AD.

xanowron · Post autor: **xanowron** » 15 wrz 2009, o 22:09

Mam jakieś zaćmienie chyba, nie zrozumiałem do końca.

Mamy wykazać właśnie, że punkt C leży tam gdzie leży (tam gdzie podałeś), a w Twoim sposobie nie widzę tego jak dojść do współrzędnych punktu C. Nie widzę też tych rosnących funkcji pola, ani tego jak dojść do tego, że ADC ma być równoramienny.

klaustrofob · Post autor: **klaustrofob** » 16 wrz 2009, o 13:50

fakty, z których korzystałem: a) przy ustalonej podstawie pole trójkąta jest tym większe, im większa jest jego wysokość (czyli: pole jest rosnącą funkcją wysokości); b) z wszystkich trójkątów wpisanych w okrąg, opartych na jednej cięciwie, największe pole ma tr. równoramienny. fakt ten jest konsekwencją faktu a). kombinując te dwa fakty otrzymujemy sugerowane przeze mnie rozwiązanie.

xanowron · Post autor: **xanowron** » 16 wrz 2009, o 14:07

Tylko trzeba ten drugi fakt udowodnić, mimo iż jest intuicyjny. Na tym polegają zadania optymalizacyjne.

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 16 wrz 2009, o 14:23

A może spróbować przyjąć \(\displaystyle{ C=(\cos\alpha,\sin\alpha)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ alphain[0,2pi)}\), wyznaczyć współrzędne wektorów \(\displaystyle{ \vec{AB},\vec{AC}}\) i skorzystać ze wzoru na pole trójkąta?

xanowron · Post autor: **xanowron** » 16 wrz 2009, o 14:38

Pomijając, że nie umiem jeszcze policzyć maksimów takich funkcji to dzięki, sposób w fajny

klaustrofob · Post autor: **klaustrofob** » 16 wrz 2009, o 15:45

xanowron, czy chcesz dowodzić, że najdłuższą cięciwą jest średnica? jeżeli zgodzisz się z faktem, że z dwóch trójkątów o równej podstawie większe pole ma trójkąt o większej wysokości, to jest oczywiste, że z trójkątów o ustalonej podstawie wpisanych w okrąg największe pole ma trójkąt równoramienny. poprowadź równoległą do cięciwy przez środek: wysokość każdego trójkąta jest albo mniejsza, albo większa od odległości średnica-cięciwa. jeżeli mniejsza, nie ma czego dowodzić. jeżeli większa, to nasza średnica dzieli ją na dwa odcinki: jeden o długości równej odległości średnica-cięciwa i drugi do okręgu. pierwszy odcinek ma stałą długość, a więc największe pole ma ten trójkąt, dla którego drugi odcinek jest najdłuższy. maksymalna długość drugiego to promień, a wtedy otrzymujemy właśnie tr. równoramienny.

xanowron · Post autor: **xanowron** » 16 wrz 2009, o 15:58

Ślepy jednak jestem
Dzięki