Znaleźć wektor w czworościanie

[wroblewskigreg]

Mam czworościan ABCD, w którym Q jest środkiem ciężkości trójkąta BCD. Dane mam wektory AB=a, AC=c i AD=d. Mam znaleźć wektro AQ.

Nie wiem jak to zrobić...

Bardzo proszę o wskazówki.

[gott314]

Niech:
\(\displaystyle{ \vec{BQ} = \vec{x}}\)
\(\displaystyle{ \vec{AQ}= \vec{y}}\)
\(\displaystyle{ \vec{BD}= \vec{f}}\)
\(\displaystyle{ \vec{CD}= \vec{g}}\)

Zatem:
\(\displaystyle{ \vec{y} = \vec{a} + \vec{x}}\)

\(\displaystyle{ \vec{a} + \vec{f} =\vec{d}}\)
\(\displaystyle{ \vec{f} =\vec{d}-\vec{a}}\)

\(\displaystyle{ \vec{c} + \vec{g}= \vec{d}}\)
\(\displaystyle{ \vec{g}= \vec{d}-\vec{c}}\)

Niech punkt \(\displaystyle{ K}\) to punkt leżący w połowie wektora \(\displaystyle{ \vec{g} =\vec{CD}}\).
Więc:
\(\displaystyle{ \vec{k} = \vec{BK}}\)
I teraz bardzo ważne:
\(\displaystyle{ \vec{f}+(- \frac{1}{2} \vec{g})= \vec{k}}\)
\(\displaystyle{ \vec{f}- \frac{1}{2} \vec{g}= \vec{k}}\)

Wiemy, że:
\(\displaystyle{ \vec{x}= \frac{2}{3} \vec{k}}\)

Stąd:
\(\displaystyle{ \vec{x} =\frac{2}{3}(\vec{f}- \frac{1}{2} \vec{g})}\)

\(\displaystyle{ \vec{y}= \vec{a}+\frac{2}{3}(\vec{f}- \frac{1}{2} \vec{g})}\)
\(\displaystyle{ \vec{y}= \vec{a}+\frac{2}{3}(\vec{d}-\vec{a}- \frac{1}{2}(\vec{d}-\vec{c}))}\)
\(\displaystyle{ \vec{y}= \vec{a}+\frac{2}{3}(- \vec{a}+ \frac{1}{2} \vec{c}+\frac{1}{2} \vec{d})}\)
Ostateczny wynik, to:

\(\displaystyle{ \vec{y}= \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{c} + \frac{1}{3} \vec{d}}\)