Mam czworościan ABCD, w którym Q jest środkiem ciężkości trójkąta BCD. Dane mam wektory AB=a, AC=c i AD=d. Mam znaleźć wektro AQ.
Nie wiem jak to zrobić...
Bardzo proszę o wskazówki.
Znaleźć wektor w czworościanie
-
- Użytkownik
- Posty: 100
- Rejestracja: 29 maja 2008, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 51 razy
- Pomógł: 1 raz
- gott314
- Użytkownik
- Posty: 233
- Rejestracja: 15 kwie 2009, o 16:48
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 38 razy
Znaleźć wektor w czworościanie
Niech:
\(\displaystyle{ \vec{BQ} = \vec{x}}\)
\(\displaystyle{ \vec{AQ}= \vec{y}}\)
\(\displaystyle{ \vec{BD}= \vec{f}}\)
\(\displaystyle{ \vec{CD}= \vec{g}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \vec{y} = \vec{a} + \vec{x}}\)
\(\displaystyle{ \vec{a} + \vec{f} =\vec{d}}\)
\(\displaystyle{ \vec{f} =\vec{d}-\vec{a}}\)
\(\displaystyle{ \vec{c} + \vec{g}= \vec{d}}\)
\(\displaystyle{ \vec{g}= \vec{d}-\vec{c}}\)
Niech punkt \(\displaystyle{ K}\) to punkt leżący w połowie wektora \(\displaystyle{ \vec{g} =\vec{CD}}\).
Więc:
\(\displaystyle{ \vec{k} = \vec{BK}}\)
I teraz bardzo ważne:
\(\displaystyle{ \vec{f}+(- \frac{1}{2} \vec{g})= \vec{k}}\)
\(\displaystyle{ \vec{f}- \frac{1}{2} \vec{g}= \vec{k}}\)
Wiemy, że:
\(\displaystyle{ \vec{x}= \frac{2}{3} \vec{k}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \vec{x} =\frac{2}{3}(\vec{f}- \frac{1}{2} \vec{g})}\)
\(\displaystyle{ \vec{y}= \vec{a}+\frac{2}{3}(\vec{f}- \frac{1}{2} \vec{g})}\)
\(\displaystyle{ \vec{y}= \vec{a}+\frac{2}{3}(\vec{d}-\vec{a}- \frac{1}{2}(\vec{d}-\vec{c}))}\)
\(\displaystyle{ \vec{y}= \vec{a}+\frac{2}{3}(- \vec{a}+ \frac{1}{2} \vec{c}+\frac{1}{2} \vec{d})}\)
Ostateczny wynik, to:
\(\displaystyle{ \vec{y}= \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{c} + \frac{1}{3} \vec{d}}\)
\(\displaystyle{ \vec{BQ} = \vec{x}}\)
\(\displaystyle{ \vec{AQ}= \vec{y}}\)
\(\displaystyle{ \vec{BD}= \vec{f}}\)
\(\displaystyle{ \vec{CD}= \vec{g}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \vec{y} = \vec{a} + \vec{x}}\)
\(\displaystyle{ \vec{a} + \vec{f} =\vec{d}}\)
\(\displaystyle{ \vec{f} =\vec{d}-\vec{a}}\)
\(\displaystyle{ \vec{c} + \vec{g}= \vec{d}}\)
\(\displaystyle{ \vec{g}= \vec{d}-\vec{c}}\)
Niech punkt \(\displaystyle{ K}\) to punkt leżący w połowie wektora \(\displaystyle{ \vec{g} =\vec{CD}}\).
Więc:
\(\displaystyle{ \vec{k} = \vec{BK}}\)
I teraz bardzo ważne:
\(\displaystyle{ \vec{f}+(- \frac{1}{2} \vec{g})= \vec{k}}\)
\(\displaystyle{ \vec{f}- \frac{1}{2} \vec{g}= \vec{k}}\)
Wiemy, że:
\(\displaystyle{ \vec{x}= \frac{2}{3} \vec{k}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \vec{x} =\frac{2}{3}(\vec{f}- \frac{1}{2} \vec{g})}\)
\(\displaystyle{ \vec{y}= \vec{a}+\frac{2}{3}(\vec{f}- \frac{1}{2} \vec{g})}\)
\(\displaystyle{ \vec{y}= \vec{a}+\frac{2}{3}(\vec{d}-\vec{a}- \frac{1}{2}(\vec{d}-\vec{c}))}\)
\(\displaystyle{ \vec{y}= \vec{a}+\frac{2}{3}(- \vec{a}+ \frac{1}{2} \vec{c}+\frac{1}{2} \vec{d})}\)
Ostateczny wynik, to:
\(\displaystyle{ \vec{y}= \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{c} + \frac{1}{3} \vec{d}}\)