proste równoległe

[LadyM]

Sprawdż że proste \(\displaystyle{ l_{1}}\) i \(\displaystyle{ l_{2}}\) sa równoległe jesli:
\(\displaystyle{ l_{1}}\) : x-1=2y= \(\displaystyle{ \frac{z-3}{2}}\)
\(\displaystyle{ l_{2}}\) : 4x+12y-5z=0 , 4x+4y-3z+1=0
Wyciagnełam współczynniki przy x, y,z
stąd wyszło dla:
\(\displaystyle{ l_{1}}\) : ( 2,-4,-1)
\(\displaystyle{ l_{2}}\) : (4,2,-5) , ( 4,4,-3)
przyrównałam je do siebie i wyszło:
\(\displaystyle{ \frac{2}{4}}\) =\(\displaystyle{ \frac{-4}{2}}\)=\(\displaystyle{ \frac{-1}{-5}}\) nie są równoległe
\(\displaystyle{ \frac{2}{4}}\) =\(\displaystyle{ \frac{-4}{4}}\)=\(\displaystyle{ \frac{-1}{-3}}\) nie są równoległe
Nie wiem czy poszlam w dobrym kierunku przy rozwiązaywaniu tego zadania .
Z góry dziękuje.

[Kamil_B]

Po pierwsze:

\(\displaystyle{ l_{1}}\) : x-1=2y= \(\displaystyle{ \frac{z-3}{2}}\)
\(\displaystyle{ l_{2}}\) : 4x+12y-5z=0 , 4x+4y-3z+1=0

Dlaczego prosta \(\displaystyle{ l_{2}}\) jest opisana za pomocą dwóch równań?
To są dwie różne proste czy może już równanie krawędziowe płaszczyzny?

Po drugie:

Wyciagnełam współczynniki przy x, y,z
stąd wyszło dla:
\(\displaystyle{ l_{1}}\) : ( 2,-4,-1)
\(\displaystyle{ l_{2}}\) : (4,2,-5) , ( 4,4,-3)

Czyli wyznaczyłaś wekory kierunkowe tych prostych.

Po trzecie:

przyrównałam je do siebie i wyszło:

Tu nie jestem do końca pewny co chciałaś zrobić.
Dwa wektory są równoległe jeśli są np. liniowo zależne.
Przyrównanie współczynników oznacza notabene sprawdzenie tej liniowej niezależności.
Ewentualnie można jeszcze policzyć iloczyn wektorowy tych wektorów kierunkowych.
Jeśli wyjdzie 0 to znaczy, że wektory a więc i proste są równoległe.

[JankoS]

\(\displaystyle{ l_{1} : \frac{x-1}{1}=\frac{2y}{1}= \frac{z-3}{2}}\)

\(\displaystyle{ l_{2} : 4x+12y-5z=0 , 4x+4y-3z+1=0}\)

Przekształcę sobie pierwsze równanie do postaci parametrycznej.
\(\displaystyle{ l_1: \begin{cases} x=1+t\\ y=0+\frac{1}{2}t\\z=3+2t \end{cases} \Rightarrow l_1||(1,\frac{1}{2},2)}\).
Wektorem kierunkowym \(\displaystyle{ l_2}\) jest iloczyn wektorowy \(\displaystyle{ (4,12,-5) \times (4,4,-3)=(1,2,4)}\) wektorów normalnych płaszczyzn ją wyznaczających.
Proste nie są równoległe.

[LadyM]

Nie wiem do końca jak zostało przekształcone równanie do postaci parametrycznej mogę prosić o dokładne wytłumaczenie krok po kroku.
Z góry dziękuje.

[Kamil_B]

Mamy:
\(\displaystyle{ l_{1} : \frac{x-1}{1}=\frac{2y}{1}= \frac{z-3}{2}=t}\)
I teraz wyznaczamy \(\displaystyle{ x,y,z}\) w zależności od \(\displaystyle{ t}\)