punkt wspólny

[damcios]

Określ w zależności od parametru m, liczbę punktów wspólnych prostej o równaniu y=mx-3 i paraboli \(\displaystyle{ y=(m+1) x^{2}+(2-m)x-2}\).W przypadku, gdy prosta i parabola mają jeden punkt wspólny, oblicz pole trójkąta równobocznego, którego jednym z wierzchołków jest ten punkt a dwa pozostałe leżą na osi OY

[Dasio11]

W równaniu \(\displaystyle{ (m+1)x^2+(2-m)x-2=mx-3}\) przenieś wszystko na jedną stronę i sprawdź, dla jakich \(\displaystyle{ m}\) delta jest większa, równa, mniejsza od \(\displaystyle{ 0}\).

Dla \(\displaystyle{ \Delta = 0}\) liczysz ten jeden punkt wspólny. Jego odległość od osi \(\displaystyle{ OY}\), czyli jego współrzędna \(\displaystyle{ x}\), równa jest \(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{3}}{2}}\). Szukane pole to \(\displaystyle{ \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}}\) - można policzyć.

[lukasz1804]

Aby znaleźć liczbę punktów wspólnych prostej i paraboli, wystarczy znaleźć liczbę rozwiązań równania

\(\displaystyle{ (m+1)x^2+(2-m)x-2=mx-3}\).

Równoważnie mamy \(\displaystyle{ (m+1)x^2+(2-2m)x+1=0}\), przy czym z założenia jest \(\displaystyle{ m\neq -1}\), gdyż jest mowa o paraboli.

Dyskusja liczby rozwiązań ostatniego równania sprowadza się teraz do badania znaku wyróżnika otrzymanego trójmianu kwadratowego: \(\displaystyle{ \Delta=(2-2m)^2-4(m+1)=4m^2-12m=4m(m-3)}\).

Dla \(\displaystyle{ m\in(0,3)}\) parabola i prosta nie mają punktów wspólnych.
Dla \(\displaystyle{ m=0}\) i dla \(\displaystyle{ m=3}\) mają one po jednym punkcie wspólnym,
a dla \(\displaystyle{ m\in(-\infty,-1)\cup(-1,0)\cup(0,3)\cup(3,+\infty)}\) - po dwa punkty wspólne.

W Twojej podpowiedzi, Dasio11, powinno być \(\displaystyle{ |x|=\frac{a\sqrt{3}}{4}}\) - nie wiadomo przecież, jaki znak ma odcięta rozważanego jedynego punktu wspólnego paraboli i prostej, a długość odcinka (wysokości trójkąta) musi być dodatnia.

[Dasio11]

No tak, racja, dzięki za poprawkę.
Wynik i tak wyszedłby taki sam, bo \(\displaystyle{ a^2}\) nie zależy od znaku \(\displaystyle{ a}\) ;P