Dla jakiej wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) płaszczyzna \(\displaystyle{ H: x - 3y +z - 4 =0}\) jest równoległa do prostej
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} 2x - ay +z -1 = 0 \\ x + y +z +2 = 0 \end{cases}}\)
Pomysł na zadanie mam następujący:
1. Prosta jest podana jako równanie krawędziowe dwóch płaszczyzn z których łatwo odczytać wektory do nich prostopadłe.
2. Mnożąc wektorowo te wektory dostanę wektor kierunkowy prostej.
3. Aby płaszczyzna i prosta były równoległe wektor kierunkowy prostej i wektor normalny płaszczyzny muszą być prostopadłe do siebie.
Na obliczeniach wygląda to tak:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} i&j&k\\2&-a&1\\1&1&1\end{bmatrix} = [-a-1, -1, 2+a]}\) - wektor kierunkowy prostej \(\displaystyle{ l}\)
\(\displaystyle{ [1, -3, 1]}\) - wektor normalny do płaszczyzny H
Aby by płaszczyzna \(\displaystyle{ H}\) i prosta \(\displaystyle{ l}\) były równoległe to \(\displaystyle{ [-a-1, -1, 2+a] * [1, -3, 1] = 0}\)
a więc
\(\displaystyle{ -a -1 +3 +2 +a = 0}\)
\(\displaystyle{ -4 = 0}\)
\(\displaystyle{ sprzecznosc}\)
Wychodzi na to że bez względu na wartość parametru \(\displaystyle{ a}\) płaszczyzna \(\displaystyle{ H}\) i prosta \(\displaystyle{ l}\) nie będą równoległe. Zastanawiam się jednak czy czegoś nie pokręciłem w zadaniu jakby ktoś sprawdził to będę wdzięczny.
