Zbadac położenie prostych oraz znalezc rów. prostej przechodzącej przez ich punkt przeciecia i prostopadłej do płaszczyzny zawierajacej te proste.
k:\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 2x-2y+z+2=0\\x-2y+3=0 \end{array}}\) l:\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 3x+y-z+13=0\\y+2z-8=0 \end{array}}\)
rów. parametryczne tych prostych
k:\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=2t-3\\y=t\\z=-2t+4\end{array}}\)
l:\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=s-7\\y=-2s+8\\z=t\end{array}}\)
Zbadałem ich położenie i wyszło mi że sie przecinaja w punkcie P(-3,0,4)
A jak znalezc rów. prostej przechodzącej przez ich punkt przeciecia i prostopadłej do płaszczyzny zawierajacej te proste?
Zbadac położenie prostych
-
JankoS
- Użytkownik
- Posty: 3101
- Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zarów
- Pomógł: 635 razy
Zbadac położenie prostych
Szukana płaszczyzna jest równoległa do wektorów \(\displaystyle{ (2,1,-2), (1,-2,1)}\). Jej wektorem normalnym jest iloczyn wektorowy tych wektorów. Jest on zarazem wektorem kierunkowym szukanej prostej.
Zbadac położenie prostych
Mam identyczne zadanie do rozwiązania ale zupełnie nie potrafie sobie z nim poradzić, może ktos moglby jakos logicznie mi je wytłumaczyć?
a)Zbadać wzajemne polozenie prostych
b)Jezeli proste sie przecinaja to wyznaczyc punkt ich przecięcia
Dane sa proste :
l1 \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=-3+t\\y=2+2t\\z=4-3t \end{array}}\)
l2 \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=1-2s\\y=s\\z=-4+4s \end{array}}\)
a)Zbadać wzajemne polozenie prostych
b)Jezeli proste sie przecinaja to wyznaczyc punkt ich przecięcia
Dane sa proste :
l1 \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=-3+t\\y=2+2t\\z=4-3t \end{array}}\)
l2 \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=1-2s\\y=s\\z=-4+4s \end{array}}\)
-
JankoS
- Użytkownik
- Posty: 3101
- Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zarów
- Pomógł: 635 razy
Zbadac położenie prostych
a)Zbadać wzajemne polozenie prostych
Oznaczę sobie pierwszą prostą k, drugą -l.
\(\displaystyle{ k: \left\{\begin{array}{l} x=-3+t=x_1+\alpha_1t\\y=2+2t=y_1+\alpha_2t\\z=4-3t=z_1 +\alpha_3t\end{array}}\) \(\displaystyle{ l: \left\{\begin{array}{l} x=1-2s=x_2+\beta_1s\\y=s=y_2+\beta_2s\\z=-4+4s =z_2+\beta_3s\end{array}}\)
k jest rownoległa do wektora (1,2,-3), l do (-2,1,4). Te wektory nie są równoległe, a więc k nie jest równoległa do l. Możliwe są jeszcze daw przypadki k, l są skośne albo k,l się przecinają. łatwiej mi sprawdzić czy są skośne. Proste są skośne, gdy układ
\(\displaystyle{ *\begin{cases} x_1+ \alpha_1=x_2+\beta_1s\\ y_1+\alpha_2t=y_2+\beta_2s\\z_1 +\alpha_3t=z_2+\beta_3s \end{cases}}\)
jest sprzeczny, przecinają się gdy układ ma rozwiązanie. W naszym przypadku układ * ma postać
\(\displaystyle{ \begin{cases} -3+t=1-2s \\ 2+2t=s\\4-3t=-4+4s \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} t+2s=4 \\ 2t-s=-2\\3t+4s=8 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} t=0\\ s=2 \end{cases}}\).
Proste się przecinają. Wspólrzędne punktu przecięcia dostaję podstawiajac wyznaczone t do równania prostej k lub s - do l. Wybiorę to drugie
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=1-2s=1-4\\y=s=2\\z=-4+4s =-4+8\end{array}}\).
Uff.
Oznaczę sobie pierwszą prostą k, drugą -l.
\(\displaystyle{ k: \left\{\begin{array}{l} x=-3+t=x_1+\alpha_1t\\y=2+2t=y_1+\alpha_2t\\z=4-3t=z_1 +\alpha_3t\end{array}}\) \(\displaystyle{ l: \left\{\begin{array}{l} x=1-2s=x_2+\beta_1s\\y=s=y_2+\beta_2s\\z=-4+4s =z_2+\beta_3s\end{array}}\)
k jest rownoległa do wektora (1,2,-3), l do (-2,1,4). Te wektory nie są równoległe, a więc k nie jest równoległa do l. Możliwe są jeszcze daw przypadki k, l są skośne albo k,l się przecinają. łatwiej mi sprawdzić czy są skośne. Proste są skośne, gdy układ
\(\displaystyle{ *\begin{cases} x_1+ \alpha_1=x_2+\beta_1s\\ y_1+\alpha_2t=y_2+\beta_2s\\z_1 +\alpha_3t=z_2+\beta_3s \end{cases}}\)
jest sprzeczny, przecinają się gdy układ ma rozwiązanie. W naszym przypadku układ * ma postać
\(\displaystyle{ \begin{cases} -3+t=1-2s \\ 2+2t=s\\4-3t=-4+4s \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} t+2s=4 \\ 2t-s=-2\\3t+4s=8 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} t=0\\ s=2 \end{cases}}\).
Proste się przecinają. Wspólrzędne punktu przecięcia dostaję podstawiajac wyznaczone t do równania prostej k lub s - do l. Wybiorę to drugie
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=1-2s=1-4\\y=s=2\\z=-4+4s =-4+8\end{array}}\).
Uff.
