Witam i bardzo proszę o pomoc w następującym zadaniu:
Prosta przechodząca przez punkty A(0;-3) i B(-1;0) przecina parabolę \(\displaystyle{ y=-x^{2}-4x-1}\) w punktach C i D.
a) wyznaczyć równania stycznych do paraboli w punktach C i D oraz współrzędne punktu S przecięcia się stycznych.
b) na trójkącie CDS opisano okrąg. Obliczyć stosunek pola powierzchni otrzymanego koła do pola powierzchni tego trójkąta.
Wykonałem już prawie wszystko, mam jednak problem z obliczeniem pola koła i pola trójkąta, nie wiem także jak podać ich stosunek.
Będę bardzo wdzięczny za pomoc w zadaniu
Stosunek pola koła i pola trójkąta
-
bayo84
- Użytkownik
- Posty: 564
- Rejestracja: 30 lip 2009, o 09:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 122 razy
Stosunek pola koła i pola trójkąta
Jezeli znasz wspolrzedne punktow C,D,S to jesli przyjemiemy, ze:
\(\displaystyle{ C=(a _{1}, b _{1}), D= (b _{1}, b _{2}), S = (c_{1}, c _{2})}\) ,
to pole:
\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2} \cdot \left|a _{1} \cdot b _{2}+b _{1} \cdot c _{2}+c _{1} \cdot a _{2}-c _{1} \cdot b _{2}- a _{1} \cdot c _{2}-b _{1} \cdot a _{2} \right|}\)
Co do pola koła to:
Sprobuj obliczyc kat pomiedzy dowolnym dwoma bokami trojkata z nastepujacej zaleznosci:
Potraktujmy dwa boki trojkata jak wektory u i v. Znajac wspolrzedne punktow mozemy obliczyc wspolrzedne wektora. zalozmy, ze:
\(\displaystyle{ \vec{u} = [u _{x} , u _{y}] \vec{v} = [v _{x}, v _{y}]}\)
wtedy:
\(\displaystyle{ \cos ( \sphericalangle ( \vec{u}, \vec{v} )) = \frac{u _{x} \cdot v _{x}+u _{y} \cdot v _{y} }{ \sqrt{u _{x}^2 + u _{y}^2 } \cdot \sqrt{v _{x}^2+v _{y}^2 } }}\)
Nastepnie obliczysz \(\displaystyle{ \alpha}\) i z Tw. Sneliusa, które mówi, ze stosunek dowolnego boku trójkąta do sinusa kąta przeciwległego równy jest srednicy okregu opisanego na trojkacie wyliczysz R.
Pozostalo obliczyc P okregu i stosunek \(\displaystyle{ \frac{P _{o} }{P}}\)
Jest jeszcze drugi sposob, ktory polega na:
-Wyznacz rownania dwoch symetralnych bokow trojkata (sprawa prosta - wiemy, ze symetralna jest prostopadla do prostej zawierajacej bok oraz przechodzi przez srodek boku, ktorego wspolrzedne mozemy wyznaczyc bez bolu).
- Wiemy, ze symetralne trojkata przecinaja sie w jednym punkcie ktory jest srodkiem okregu opisanego na tymze trojkacie . Wyznaczenie punktu przeciecia dwoch symetralnych tez trudu sprawic Ci nie powinno.
- Pozostalo wyznaczyc promien, czyli dlugosc odcinka wyznaczonego przez punkt przeciecia symetralnych oraz dowolny wierzcholek.
\(\displaystyle{ C=(a _{1}, b _{1}), D= (b _{1}, b _{2}), S = (c_{1}, c _{2})}\) ,
to pole:
\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2} \cdot \left|a _{1} \cdot b _{2}+b _{1} \cdot c _{2}+c _{1} \cdot a _{2}-c _{1} \cdot b _{2}- a _{1} \cdot c _{2}-b _{1} \cdot a _{2} \right|}\)
Co do pola koła to:
Sprobuj obliczyc kat pomiedzy dowolnym dwoma bokami trojkata z nastepujacej zaleznosci:
Potraktujmy dwa boki trojkata jak wektory u i v. Znajac wspolrzedne punktow mozemy obliczyc wspolrzedne wektora. zalozmy, ze:
\(\displaystyle{ \vec{u} = [u _{x} , u _{y}] \vec{v} = [v _{x}, v _{y}]}\)
wtedy:
\(\displaystyle{ \cos ( \sphericalangle ( \vec{u}, \vec{v} )) = \frac{u _{x} \cdot v _{x}+u _{y} \cdot v _{y} }{ \sqrt{u _{x}^2 + u _{y}^2 } \cdot \sqrt{v _{x}^2+v _{y}^2 } }}\)
Nastepnie obliczysz \(\displaystyle{ \alpha}\) i z Tw. Sneliusa, które mówi, ze stosunek dowolnego boku trójkąta do sinusa kąta przeciwległego równy jest srednicy okregu opisanego na trojkacie wyliczysz R.
Pozostalo obliczyc P okregu i stosunek \(\displaystyle{ \frac{P _{o} }{P}}\)
Jest jeszcze drugi sposob, ktory polega na:
-Wyznacz rownania dwoch symetralnych bokow trojkata (sprawa prosta - wiemy, ze symetralna jest prostopadla do prostej zawierajacej bok oraz przechodzi przez srodek boku, ktorego wspolrzedne mozemy wyznaczyc bez bolu).
- Wiemy, ze symetralne trojkata przecinaja sie w jednym punkcie ktory jest srodkiem okregu opisanego na tymze trojkacie . Wyznaczenie punktu przeciecia dwoch symetralnych tez trudu sprawic Ci nie powinno.
- Pozostalo wyznaczyc promien, czyli dlugosc odcinka wyznaczonego przez punkt przeciecia symetralnych oraz dowolny wierzcholek.