Kilka zadań na egzamin poprawkowy z matematyki.

[Piotr59mb]

Witam. To już ostatni temat z tej 'serii', obiecuję

1) Napisz równanie okręgu o środku w punkcie \(\displaystyle{ S(-3;-1}\), do którego należy punkt \(\displaystyle{ P(-1;3)}\)

2) Sprawdź czy równanie jest równaniem okręgu.
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+2x+6y+12=0}\)

3) Dany jest punkt \(\displaystyle{ P(2,7)}\). Wyznacz na osi \(\displaystyle{ Ox}\) taki punkt \(\displaystyle{ R}\) aby \(\displaystyle{ |PR|= \sqrt{74}}\)

4) Wyznacz równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) poprowadzoną z wierzchołka \(\displaystyle{ C}\) mając dane:
\(\displaystyle{ A(-4,1)}\)
\(\displaystyle{ B(0,5)}\)
\(\displaystyle{ C(2,-2)}\)

5) Oblicz obwód i pole kwadratu, którego przekątną jest odcinek \(\displaystyle{ AC}\), jeśli
\(\displaystyle{ A(2,4)}\)
\(\displaystyle{ C(6,-2)}\)

6) Wyznacz na osi \(\displaystyle{ Ox}\) punkt o nieujemnych współrzędnych odległy o \(\displaystyle{ 3}\) od punktu \(\displaystyle{ A(1,1)}\)

7) Wyznacz na osi \(\displaystyle{ Ox}\) punkt \(\displaystyle{ P}\) równo oddalony od punktów
\(\displaystyle{ A(-2;2)}\)
\(\displaystyle{ B(1;5)}\)

8) Wyznacz równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek \(\displaystyle{ AB}\), gdzie
\(\displaystyle{ A(1;2)}\)
\(\displaystyle{ B(7;2)}\)

9) Wskaż, że trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) o wierzchołkach
\(\displaystyle{ A(-2;1)}\)
\(\displaystyle{ B(4;4)}\)
\(\displaystyle{ C(-5;6)}\)
jest prostokątny.


To jest bardzo pilne.
Błagam o pomoc...

[rodzyn7773]

w 1 wystarczy napisać równanie okręgu \(\displaystyle{ (x-x_s)^2+(y-y_s)^2=r^2}\) teraz wystarczy podstawić współrzędne punktu S i P i obliczyć promień

[pawelsuz]

W 3 współrzędne punktu R to \(\displaystyle{ (x_{R},0)}\). Z wzoru na odległość punktów masz
\(\displaystyle{ \sqrt{74} =d= \sqrt{((7-0)^{2}+(2-x_{R})^{2}}}\)
i masz do rozwiązania równanie, które będzie miało 2 rozwiązania.-- 23 sierpnia 2009, 13:59 --W 9 liczysz odległości wierzchołków, czyli długości boków. Potem sprawdzasz, że spełniają równanie \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}=c^{2}}\) i na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa otrzymujesz tezę.

[miki999]

2) Przekształć do postaci: \(\displaystyle{ (x-x_s)^2+(y-y_s)^2=r^2}\)
3) Pkt. \(\displaystyle{ R}\) leży na \(\displaystyle{ OX}\), czyli musi mieć współrzędne: \(\displaystyle{ (a,0)}\). Wzór na odległość pkt. znasz, a jak nie to zajrzyj do kart wzorów.
4) Z wierzchołka \(\displaystyle{ C}\) spada prostopadle na odcinek \(\displaystyle{ AB}\). Czyli musisz wyznaczyć prostą prostopadłą do prostej przechodzącej przez \(\displaystyle{ A\ i\ B}\), która przechodzi przez \(\displaystyle{ C}\).
5)Jeżeli bok kwadratu ma dł. \(\displaystyle{ a}\), to jego pole wynosi....? Jeżeli przekątna kwadratu ma dł. \(\displaystyle{ a \sqrt{2}}\), to pole kwadratu wynosi...?
6) Analogicznie do 3)
7) jak 3) i 6), tyle, że będziesz musiał przyrównać do siebie 2 odległości.
8) środek prostej \(\displaystyle{ AB}\) to środek okręgu. Połowa średnicy to promień.
9) udowodnij, że pewne dwie proste (zawierające boki tego trójkąta) są prostopadłe. Możesz sobie narysować rys. pomocniczy.



Pozdrawiam.

[Piotr59mb]

Co do pierwszego zadania to ostateczny wynik (równanie okręgu) będzie wyglądał tak:
\(\displaystyle{ (-1+3)^{2}+(3+1)^{2}=20}\) ?-- 23 sie 2009, o 14:27 --A w 2 zadaniu, jeśli \(\displaystyle{ r=0}\) to wtedy nie jest równanie okręgu, tak?

[miki999]

Co do pierwszego zadania to ostateczny wynik (równanie okręgu) będzie wyglądał tak:
\(\displaystyle{ (-1+3)^{2}+(3+1)^{2}=20}\) ?

A czy "\(\displaystyle{ (-1+3)^{2}+(3+1)^{2}=20}\)" to jest równanie okręgu?

w 2 zadaniu, jeśli r=0 to wtedy nie jest równanie okręgu, tak?

Tak.

[Piotr59mb]

Mam pytanie:
Jak wyliczyć algebraicznie układ równań z równaniem okręgu i prostej? Graficznie rozwiązałem.
\(\displaystyle{ \begin{cases} y-x=-4\\x^{2}+y^{2}=16\end{cases}}\)

Albo z parabolą i prostą?
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=2x^{2}+3\\y=4x+1\end{cases}}\)

[pawelsuz]

Z parabolą i prostą to po prostu do pierwszego równania wstawiasz y który juz masz wyznaczony z drugiego i masz rownanie kwadratowe z jadna niewiadoma x. Wyliczasz rozwiązania i wstawiasz, zeby znalezc y. Pierwsze analogicznie.

[miki999]

Pierwsze podobnie. Z pierwszego równania wyznaczyć \(\displaystyle{ x}\) lub \(\displaystyle{ y}\) a potem wstawić do 2. Dalej f. kwadratowa.



Pozdrawiam.

[Piotr59mb]

Z parabolą sobie poradziłem.
Ale nadal niestety nie mogę zrozumieć jak rozwiązać to z okręgiem... Może bardziej łopatologicznie?

[miki999]

\(\displaystyle{ \begin{cases} y-x=-4\\x^{2}+y^{2}=16\end{cases}}\)
Wyznaczamy z pierwszego równania powiedzmy \(\displaystyle{ y}\) i podstawiamy do 2. równania.
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=x-4\\x^{2}+(x-4)^{2}=16\end{cases}}\)


Pozdrawiam.

[Piotr59mb]

Z tego równania wychodzi mi \(\displaystyle{ x_{1}=0}\) \(\displaystyle{ x_{2}=4}\)
Z metody graficznej wychodzi, że \(\displaystyle{ x=4}\) \(\displaystyle{ y=-4}\)
Ale podstawiając pod \(\displaystyle{ y-x=-4}\) nic nie pasuje

[miki999]

Z tego równania wychodzi mi x_{1}=0 x_{2}=4
Z metody graficznej wychodzi, że x=4 y=-4
Ale podstawiając pod y-x=-4 nic nie pasuje

Pamiętaj co Ci wychodzi. Rozwiązaniami są pkt. \(\displaystyle{ (x_1,y_1),\ (x_2,\ y_2)}\)

Jeżeli \(\displaystyle{ x_1=0}\), to z 1. równania otrzymujesz: \(\displaystyle{ y_1=-4}\); \(\displaystyle{ x_{2}=4 \Rightarrow y_2=0}\), bo masz 2 pkt. przecięcia.


Pozdrawiam.

[Piotr59mb]

Pytanie odnośnie zadania 8
\(\displaystyle{ r=3}\)
Ale jak wyznaczyć środek okręgu? Wiadomo, że znajduje się w punkcie \(\displaystyle{ (4,2)}\) ale jak to wyliczyć?

[piasek101]

8) Wyznacz równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek \(\displaystyle{ AB}\), gdzie
\(\displaystyle{ A(1;2)}\)
\(\displaystyle{ B(7;2)}\)

Pytanie odnośnie zadania 8
\(\displaystyle{ r=3}\)
Ale jak wyznaczyć środek okręgu? Wiadomo, że znajduje się w punkcie \(\displaystyle{ (4,2)}\) ale jak to wyliczyć?

Współrzędne środka odcinka są średnimi arytmetycznymi odpowiednich współrzędnych jego końców.