przekszałcenie płaszczyzny

[celia11]

proszę o pomoc w rozwiązaniu:

Dane jest przekształcenie płaszczyzny P określone wzorem

\(\displaystyle{ P(x,y)=(y+2,-x+1)}\)

gdzie \(\displaystyle{ x,y \in R}\).

a) Zbadaj czy przekształcenie P jest izometrią.
b) Znajdź równanie obrazu okregu

\(\displaystyle{ o:x ^{2}+y ^{2} -4x+6+12=0}\)

w tym przekształceniu.

c) Oblicz pole trójkata , którego wierzchołkami są: środek danego okregu i jego obraz w przekształceniu P oraz punkt A(2,0).

dziękuję

[rodzyn7773]

\(\displaystyle{ P(x,y)=(y+2,-x+1)}\)
z definicji izometrii wiemy, że jest to przekształcenie płaszczyzny zachowujące odległości między punktami zatem obierzmy 2 punkty oraz znajdźmy ich współrzędne po tym przekształceniu:
\(\displaystyle{ A=(x_a,y_a) \\ A'=(y_a+2,-x_a+1)}\)
\(\displaystyle{ B=(x_b,y_b) \\ B'=(y_b+2,-x_b+1)}\)
Teraz wystarczy sprawdzi, czy \(\displaystyle{ |AB|=|A'B'|}\) czyli :
\(\displaystyle{ |AB|^2=(x_a-x_b)^2+(y_a-y_b)^2\\|A'B'|=[y_a+2-(y_b+2)]^2+[-x_a+1-(-x_b+1)]^2=(y_a-y_b)^2+(x_b-x_a)^2=(x_a-x_b)^2+(y_a-y_b)^2}\)

Widzimy, że równość zachodzi czyli to przekształcenie jest izometrią.

-- 23 sie 2009, o 12:30 --

w b wystarczy podstawić \(\displaystyle{ x=y+2}\) oraz \(\displaystyle{ y=-x+1}\)-- 23 sie 2009, o 12:36 --a w c musisz znaleźć środek tego okręgu , obraz tego punktu zgodnie z danym przekształceniem, mając współrzędne wszystkich wierzchołków trójkąta możesz obliczyć jego pole na wiki na pewno znajdziesz wzór

[Zordon]

w b wystarczy podstawić \(\displaystyle{ x=y+2}\) oraz \(\displaystyle{ y=-x+1}\)

nie, to nie zadziała.

Najlepiej wyznaczyć środek tego okręgu i promień, a następnie znaleźć na co przechodzi środek i napisać na tej podstawie równanie obrazu.