Styczna do elipsy

kp1311 · Post autor: **kp1311** » 22 sie 2009, o 17:12

Znaleźć równania stycznych do elipsy \(\displaystyle{ 5x^{2} + 4y^{2} = 20}\) równoległe do prostej \(\displaystyle{ k: 2x - 6y +5 = 0}\).

Próbowałem tak:
1. Obliczyłem współczynnik kierunkowy prostej k, otrzymałem (\(\displaystyle{ 1/3}\))
2. Porównałem do współczynnika kierunkowego stycznej w \(\displaystyle{ P(x _{0},y_{0}}\) )
otrzymałem stąd równość: \(\displaystyle{ 1/3 = - \frac{5x_{0}}{4y_{0}} \Leftrightarrow - \frac{4}{15}y_{0} =x_{0}}\)
3. Podstawiłem \(\displaystyle{ x_{0}}\) do równania elipsy skąd: \(\displaystyle{ \frac{54}{49}y_{0} = 5 \Rightarrow |y_{0}| = \frac{7}{3} \sqrt{ \frac{5}{6}}}\).
4. Podstawiłem dwie możliwe wartości \(\displaystyle{ y_{0}}\) do równania \(\displaystyle{ - \frac{4}{15}y_{0} =x_{0}}\).
5. Otrzymałem w ten sposób współrzędne dwóch punktów w których szukane proste przecinają elipsę.
Podstawiłem te współrzędne do wzoru na równanie prostej o wpółczynniku kierunkowym\(\displaystyle{ 1/3}\) do której należy dany punkt.

Problem polega na tym że w równaniach tych prostych mam \(\displaystyle{ \frac{5}{6}}\) pod pierwiastkiem, a w odpowiedziach w równaniach szukanych prostych żadnych pierwiastków nie ma.

nuclear · Post autor: **nuclear** » 22 sie 2009, o 17:37

coś nie tak

skoro masz równanie prostej \(\displaystyle{ y=\frac{1}{3}x+b}\) która jest styczną to układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases}y=\frac{1}{3}x+b \\ 5x^2+4y^2=20 \end{cases}}\)
spełnia tylko jeden punkt.
Czyli technicznie wstawiasz za y równanie prostej i z wyznaczonego równania delta równa się 0.

kp1311 · Post autor: **kp1311** » 22 sie 2009, o 17:47

1.Na ludzki rozum jeśli mam daną elipse i prostą to wtedy mogę narysować dwie styczne do elipsy równoległe do danej prostej.
2. W odpowiedziach są dwa różne równania stycznych.
3. Próbowałem już wcześniej rozwiązywać twój układ równań, ale obliczenia wydawały mi się troszkę zbyt skomplikowane...

nuclear · Post autor: **nuclear** » 22 sie 2009, o 17:55

nie czytasz tego co ja napisałem
zestawisz te równania dostajesz
\(\displaystyle{ 5x^2+4(\frac{1}{3}x+b)^2-20=0}\) z tego musisz policzyć deltę przyrównać ją do 0 i wyznaczyć współczynnik b.

kp1311 · Post autor: **kp1311** » 22 sie 2009, o 18:16

Przyrównałem tą delte do zera i dostałem współczynnik b w bardzo nie ciekawej postaci (równanie drugiego stopnia pod pierwiastkiem).

Czy nie mógłbyś sprawdzić mojego 5-cio punktowego rozwiązania?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 22 sie 2009, o 21:27

Ze sposobu (najbardziej oczywisty) podanego przez @nuclear powinieneś dostać :

\(\displaystyle{ b= \pm \frac{7}{3}}\)

kp1311 · Post autor: **kp1311** » 22 sie 2009, o 23:22

Dziękuje za pomoc i przepraszam ze troszkę namieszałem.

\(\displaystyle{ 5x^{2} + 4( \frac{1}{3}x + b )^{2} = 20}\)
\(\displaystyle{ 5x^{2} + 4( \frac{1}{9}x^{2} + \frac{2}{3}xb+ b^{2} ) - 20 = 0}\)
\(\displaystyle{ 5x^{2} + \frac{4}{9}x^{2} + \frac{8}{3}xb + 4b^{2} - 20 = 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{49}{9}x^{2} + \frac{8}{3}xb + 4b^{2} - 20 = 0 \backslash \cdot 3}\)
\(\displaystyle{ \frac{49}{3}x^{2} + 8bx + 3(4b^{2} - 20) = 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 0 \Leftrightarrow 64b^{2} = 4 \cdot 49(4b^{2} - 20) \backslash :16}\)
\(\displaystyle{ 4b^{2} = \cdot 49(b^{2} - 5) \backslash :5}\)
\(\displaystyle{ 9b^{2} = 49 \Leftrightarrow b = \pm \frac{7}{3}}\)