Oblicz długości

[nogiln]

wektorów \(\displaystyle{ \vec{u} + \vec{v} \ i \ \vec{u} - \vec{v}}\) jeśli:

a) \(\displaystyle{ \left| \vec{u} \right|=1 \ , \ \left| \vec{v} \right|=3, \ \sphericalangle ( \vec{u} ; \vec{v})=60 ^{o}}\)

b) \(\displaystyle{ \left| \vec{u} \right|=2 \ , \ \left| \vec{v} \right|=4, \ \sphericalangle ( \vec{u} ; \vec{v})=120 ^{o}}\)

[silicium2002]

Najlepiej narysuj sobie te wektory i dodaj je metodą równoległoboku. W przypadku odejmowania dodaj wektor przeciwny.

[nogiln]

chodzi mi o rozwiązanie rachunkowe

[steal]

W podpunkcie a) długość wektora wypadkowego będzie równa długości przekątnej równoległoboku o bokach równych długościom wektorów u i v.
\(\displaystyle{ |\vec{w}|^2=|\vec{v}|^2+|\vec{u}|^2-2\cdot|\vec{v}|\cdot|\vec{u}|cos120^\circ}\) (tw. cosinusów)

[silicium2002]

chodzi mi o rozwiązanie rachunkowe

W podpunkcie a) długość wektora wypadkowego będzie równa długości przekątnej równoległoboku o bokach równych długościom wektorów u i v.
\(\displaystyle{ |\vec{w}|^2=|\vec{v}|^2+|\vec{u}|^2-2\cdot|\vec{v}|\cdot|\vec{u}|^2cos120^\circ}\) (tw. cosinusów)

]

Steal dobrze radzi. Ja miałem na myśli raczej to że Możesz narysować i zmierzyć jeżeli tylko potrzebujesz wynik (bardzo dokładny on nie będzie, ale używając funkcji trygonometrycznych też masz przybliżenia

[steal]

Ja miałem na myśli raczej to że Możesz narysować i zmierzyć jeżeli tylko potrzebujesz wynik (bardzo dokładny on nie będzie, ale używając funkcji trygonometrycznych też masz przybliżenia

Odczytanie wyniku z rysunku nie jest rozwiązaniem. A użycie funkcji trygonometrycznych jest rozwiązaniem dokładnym (nawet gdy jest to liczba niewymierna).

[silicium2002]

Ja miałem na myśli raczej to że Możesz narysować i zmierzyć jeżeli tylko potrzebujesz wynik (bardzo dokładny on nie będzie, ale używając funkcji trygonometrycznych też masz przybliżenia

Odczytanie wyniku z rysunku nie jest rozwiązaniem. A użycie funkcji trygonometrycznych jest rozwiązaniem dokładnym (nawet gdy jest to liczba niewymierna).

Ok, ok. JA po prostu źle to zrozumiałem. I cały czas mówię o praktycznej metodzie. A nie rozwiązaniu poprawnym pod względem matematyki.

[nogiln]

W podpunkcie a) długość wektora wypadkowego będzie równa długości przekątnej równoległoboku o bokach równych długościom wektorów u i v.
\(\displaystyle{ |\vec{w}|^2=|\vec{v}|^2+|\vec{u}|^2-2\cdot|\vec{v}|\cdot|\vec{u}|^2cos120^\circ}\) (tw. cosinusów)

równanie nie powinno być takie:

\(\displaystyle{ |\vec{w}|^2=|\vec{v}|^2+|\vec{u}|^2-2\cdot|\vec{v}|\cdot|\vec{u}|cos120^\circ}\) ?

[silicium2002]

Powinno być, ale to literówka na pewno...

[nogiln]

W podpunkcie a) długość wektora wypadkowego będzie równa długości przekątnej równoległoboku o bokach równych długościom wektorów u i v.
\(\displaystyle{ |\vec{w}|^2=|\vec{v}|^2+|\vec{u}|^2-2\cdot|\vec{v}|\cdot|\vec{u}|cos120^\circ}\) (tw. cosinusów)

a dlaczego nie \(\displaystyle{ \cos60 ^{o}}\)

i nie powinno być

\(\displaystyle{ \vec{w} ^{2}= \vec{u} ^{2} + \vec{v} ^{2} -2 \vec{u} \vec{v} \cos60 ^{0}}\)

[steal]

a dlaczego nie \(\displaystyle{ \cos60 ^{o}}\)

Według interpretacji geometrycznej, wypadkowa sumy dwóch wektorów jest wektorem leżącym na dłuższej przekątnej równoległoboku. Jeżeli narysujesz tą sytuację to zauważysz, że aby obliczyć długość tego wektora najlepiej skorzystać z twierdzenia cosinusów, które zapisujesz dla kąta leżącego naprzeciwko przekątnej.

i nie powinno być

\(\displaystyle{ \vec{w} ^{2}= \vec{u} ^{2} + \vec{v} ^{2} -2 \vec{u} \vec{v} \cos60 ^{0}}\)

Ten zapis jest niepoprawny, bo przyjąłeś zły kąt i używasz tutaj wektorów, a nie ich długości
\(\displaystyle{ \vec{a} \not = |\vec{a}|}\)