Równanie płaszczyzny

[Dawidzi?tko]

Znależć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty: P1(2,-1,4); P2(1,-1,5) i prostopadłej do płaszczyzny H: x-2y+z-4=0

Proszę o pomoc

[Kamil_B]

Zauważ, że jeden z wektorów rozpinających szukaną płaszczyznę to wektor \(\displaystyle{ \vec{ P_{1}P_{2}}}\) a drugi to wektor normalny płaszczyzny \(\displaystyle{ H}\).
Wystarczy jeszcze wziąć np. punkt \(\displaystyle{ P_{1}}\) i już mozna napisać równanie parametryczne szukanej płaszczyzny.

[Dawidzi?tko]

Czy mam zrobić iloczyn wektorowy wektora \(\displaystyle{ P_{1}P_{2}^{ \rightarrow }}\) i wektora normalnego podanej w zadaniu płaszczyzny to jest [1,-2,1] ? I cóż dalej?

[Kamil_B]

Nie trzeba żadnego iloczynu wektorowego. Masz dwa wektory które rozpinają płaszczyznę i bierzesz jeden z punktów \(\displaystyle{ P_{1}}\) lub \(\displaystyle{ P_{2}}\) i piszesz równanie parametryczne.

[Dawidzi?tko]

a nie da się dojść do postaci ogólnej? Bo ja dotychczas słyszałem tylko o postaci parametrycznej ale prostej . Teraz już wiem że takie coś istnieje. Rówanie ogólne byłoby x+y+z-5=0 ale jak do tego dojść?

[Kamil_B]

Z równania bardzo prosto mozna dojść do równania ogólnego:
W naszym przypadku równanie parametryczne ma postać:
\(\displaystyle{ (x,y,z)=(1,-1,5)+s(1,0,-1)+t(1,-2,1)}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ (x,y,z)=(1+s+t,-1-2s,5-s+t)}\) gdzie parametry \(\displaystyle{ s,t \in \mathbb{R}}\)
Teraz wystarczy policzyć wartość wyrażenia \(\displaystyle{ x+y+z}\)

Ewentualnie możesz policzyć iloczyn wektorowy tych dwóch wektorów ,które rozpinają szukaną płaszczyznę.Tak otrzymasz wektor normalny tej płaszczyzny \(\displaystyle{ \vec{n}=(A,B,C)}\)
Stąd równanie ogólne ma postać: \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\) gdzie podstawiając np. \(\displaystyle{ (x,y,z)=P_{1}}\) wyznaczasz \(\displaystyle{ D}\) i masz szukane równanie ogólne.

[Dawidzi?tko]

Płaszczyzna jest wyznaczona jednoznacznie przez podanie punktu, przez który przechodzi, oraz dwóch wektorów do niej równoległych, ale nierównoległych do siebie. To znalazłem w necie. Powiedz mi jeszcze jak się stwierdza, że [-1,0,1] nie jest równoległy do [1,-2,1]?-- 21 sie 2009, o 22:37 --ale czy jak jest iloczyn wektorowy
to te wektory muszą mieć wspólny początek?
czy wystarczy że są w tej samej płaszczyźnie?

[Kamil_B]

Wektory są równoległe jeśli sa liniowo zależne , czyli gdy dla dowolnych \(\displaystyle{ \vec{u}, \vec{v}}\), oraz pewnej stałej \(\displaystyle{ k \in \mathbb{R}}\) zachodzi \(\displaystyle{ \vec{u}= \left| k\right| \vec{v}}\) .
W naszym przypadku wystarczy zauważyć np. że wektora \(\displaystyle{ [-1,0,1]}\)nie da sie przedtstawić jako kombinacji liniowej wektora \(\displaystyle{ [1,-2,1]}\) i pewnej stałej \(\displaystyle{ k}\).

Co do drugiego pytania: wektory zaczepiamy w tym samym punkcie ale to nie jest problem bo jeśli leża w tej samej płaszczyżnie to możemy je przesunąć sobie i zaczepić we wspólnym punkcie

[Dawidzi?tko]

i oczywiście przesuwamy wektor wzdłuż jego kierunku? Dzięki za pomoc, wielkie dzięki!!!

[Kamil_B]

Po prostu przykładamy go do tego punktu. I tyle