wierzchołek czworościanu

[wroblewskigreg]

Cześć!

Treść zadania: "Dane są trzy wierzchołki czworościanu ABCD: A(1,0,1), B(0,1,1), C(1,1,0). Wyznaczyć wierzchołek D, wiedząc, że jego trzy współrzędne są jednakowe, a ojętość czworościanu jest równa 2."

Znalazłem wysokość- wyszło mi \(\displaystyle{ h=4 \sqrt{3}}\).

Nie wiem teraz co dalej...

Bardzo proszę o wskazówki.

[Qń]

Wzór na objętość czworościanu o wierzchołkach \(\displaystyle{ (x,y,z),(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2),(x_3,y_3,z_3)}\) to:

\(\displaystyle{ V=\frac{1}{6} \cdot \left| det \left( \begin{array}{cccc}
x &y&z&1 \\
x_1&y_1&z_1&1 \\
x_2&y_2&z_2&1 \\
x_3&y_3&z_3&1
\end{array} \right) \right|}\)

W naszym wypadku będzie więc:
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{6} \cdot \left| det \left( \begin{array}{cccc}
t &t&t&1 \\
1&0&1&1 \\
0&1&1&1 \\
1&1&1&1
\end{array} \right) \right| = \frac{1}{6} | t-1|}\)

Stąd \(\displaystyle{ t=13}\) lub \(\displaystyle{ t=-11}\)

Q.

[wroblewskigreg]

dziękuję za podpowiedź, ale wynik wyszedł mi inny(zgubiłem jeden wynik...), a jeszcze inny jest w odpowiedziach...

Poszukam błędu

[Qń]

Wynik jest sprawą drugorzędną, istotny jest sposób rozwiązania. Gdybyś temuż sposobowi się przyjrzał, zamiast koncentrować się na wyniku, to zauważyłbyś, że wpisałem w ostatnim wierszu macierzy o jedną jedynkę za dużo i stąd pojawił się błąd rachunkowy. Z poprawnie wpisanymi punktami jest tak:

\(\displaystyle{ V=\frac{1}{6} \cdot \left| det \left( \begin{array}{cccc}
t &t&t&1 \\
1&0&1&1 \\
0&1&1&1 \\
1&1&0&1
\end{array} \right) \right| = \frac{1}{6} | 2-3t|}\)

Stąd \(\displaystyle{ t=\frac{14}{3}}\) lub \(\displaystyle{ t=-\frac{10}{3}}\)

Q.