Dane są punkty A(0,0), B(4,2)
a) Znajdź takie punkty C i D aby trójkąty ABC i ABD były równoboczne,
b) Znajdź równanie okręgu wpisanego w rąb ABCD.
c) Oblicz pole figury, którą otrzymamy po usunięciu z rombu ABCD wnętrz wpisanego weń koła.
pole trójkąta
-
NPS
- Użytkownik
- Posty: 63
- Rejestracja: 29 maja 2007, o 21:05
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 2 razy
pole trójkąta
a) Wyszło mi: \(\displaystyle{ C = ( \sqrt{7 + 4 \sqrt{3} }, 1 - 2 \sqrt{3} )}\), \(\displaystyle{ D = ( \sqrt{7 - 4 \sqrt{3} }, 1 + 2 \sqrt{3} )}\) lub odwrotnie, kwestia oznaczeń.
Wiem, że dziwnie. Pewnie błąd w obliczeniach. Chociaż z drugiej strony na wykresie wygląda to nieźle. Natomiast metoda jest taka: tworzymy sobie równania okręgów - jeden ma środek w A i promień długości |AB|, drugi środek w B i promień tej samej długości. Liczymy punkty przecięcia tych dwóch okręgów - to będą punkty C i D. Żeby je policzyć trzeba zapisać oba równania okręgów jako układ równań i go rozwiązać.
b) Metoda: Środek okręgu leży na środku odcinka AB (z właściwości rombu), czyli w punkcie (2, 1). Żeby znaleźć promień znajdujemy równanie prostej przechodzącej np. przez B i C (podstawiamy współrzędne B i C do równania prostej: y = ax + b, obliczamy a i b), gdy mamy prostą znajdujemy odległość punktu (2, 1) od tej prostej ze wzoru na odległość punktu od prostej. Potem wystarczy ładnie zapisać wynik. Ale przy tych danych nie podejmuję się liczenia tego. Co znaczy, że pewnie albo ja coś pokręciłem, albo mi chociaż wyszedł zły wynik w a).
c) Podał kolega niżej.
Wiem, że dziwnie. Pewnie błąd w obliczeniach. Chociaż z drugiej strony na wykresie wygląda to nieźle. Natomiast metoda jest taka: tworzymy sobie równania okręgów - jeden ma środek w A i promień długości |AB|, drugi środek w B i promień tej samej długości. Liczymy punkty przecięcia tych dwóch okręgów - to będą punkty C i D. Żeby je policzyć trzeba zapisać oba równania okręgów jako układ równań i go rozwiązać.
b) Metoda: Środek okręgu leży na środku odcinka AB (z właściwości rombu), czyli w punkcie (2, 1). Żeby znaleźć promień znajdujemy równanie prostej przechodzącej np. przez B i C (podstawiamy współrzędne B i C do równania prostej: y = ax + b, obliczamy a i b), gdy mamy prostą znajdujemy odległość punktu (2, 1) od tej prostej ze wzoru na odległość punktu od prostej. Potem wystarczy ładnie zapisać wynik. Ale przy tych danych nie podejmuję się liczenia tego. Co znaczy, że pewnie albo ja coś pokręciłem, albo mi chociaż wyszedł zły wynik w a).
c) Podał kolega niżej.
Ostatnio zmieniony 14 sie 2009, o 10:31 przez NPS, łącznie zmieniany 2 razy.
-
nuclear
- Użytkownik
- Posty: 1501
- Rejestracja: 22 paź 2006, o 12:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 264 razy
pole trójkąta
na początek wyprowadź proste z punktów AB pod odpowiednimi kątami dla trójkąta równobocznego i policz ich punkty przecięcia (z każdego punktu wyprowadzasz 2 proste).
możemy się łatwo domyśleć że środek okręgu znajduje się na przecięciu przekątnych a promień to odległość od boku (czyli wcześniej poprowadzonych prostych). Ostateczni pole liczyłbym dzieląc rąb na 2 trójkąty i wyznacznikiem a pole koła mając jego promień to już chyba żaden problem.
możemy się łatwo domyśleć że środek okręgu znajduje się na przecięciu przekątnych a promień to odległość od boku (czyli wcześniej poprowadzonych prostych). Ostateczni pole liczyłbym dzieląc rąb na 2 trójkąty i wyznacznikiem a pole koła mając jego promień to już chyba żaden problem.
-
M_L
- Użytkownik
- Posty: 371
- Rejestracja: 23 maja 2009, o 15:34
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 23 razy
pole trójkąta
Widzę, że odpowiedzi pojawiły się już ale jako, że miałam chwilę czasu i napisałam się, zamieszczam i swoją
a) Szukane punkty C i D wyznacz szukając punktów wspólnych okręgów o środkach w A i B i promieniu \(\displaystyle{ AB = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}}\)....zrób układ równań ...punkty przecięcia i rozwiąż układ..
b) Środkiem szukanego okręgu jest środek odcinka AB , czyli punkt \(\displaystyle{ S = (2,1 )}\) . Promień tego okręgu wylicz ze wzoru na pole rombu opisanego na okręgu P = pr ,
p - jest połową obwodu (zrób to w ten sposób, bo pole rombu i tak będzie Ci potrzebne w następnym podpunkcie).
\(\displaystyle{ AC = AB = \sqrt{20}}\)
wzór na pole trójkąta równobocznego
\(\displaystyle{ P=2 \cdot \frac{{AC}^2 \cdot \sqrt{3} }{4}}\)
promień okręgu wpisanego
\(\displaystyle{ r= \frac{P}{p}=}\)
w ten sposób otrzymasz równanie interesującego Cię okręgu
c) znasz już pole rombu (podpunkt wyżej) a pole okręgu wpisanego jest równe
\(\displaystyle{ \pi{r}^2= \frac{15\pi}{4}}\)...tak obliczysz interesujące Cię pole
a) Szukane punkty C i D wyznacz szukając punktów wspólnych okręgów o środkach w A i B i promieniu \(\displaystyle{ AB = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}}\)....zrób układ równań ...punkty przecięcia i rozwiąż układ..
b) Środkiem szukanego okręgu jest środek odcinka AB , czyli punkt \(\displaystyle{ S = (2,1 )}\) . Promień tego okręgu wylicz ze wzoru na pole rombu opisanego na okręgu P = pr ,
p - jest połową obwodu (zrób to w ten sposób, bo pole rombu i tak będzie Ci potrzebne w następnym podpunkcie).
\(\displaystyle{ AC = AB = \sqrt{20}}\)
wzór na pole trójkąta równobocznego
\(\displaystyle{ P=2 \cdot \frac{{AC}^2 \cdot \sqrt{3} }{4}}\)
promień okręgu wpisanego
\(\displaystyle{ r= \frac{P}{p}=}\)
w ten sposób otrzymasz równanie interesującego Cię okręgu
c) znasz już pole rombu (podpunkt wyżej) a pole okręgu wpisanego jest równe
\(\displaystyle{ \pi{r}^2= \frac{15\pi}{4}}\)...tak obliczysz interesujące Cię pole