Największa objętość ostroslupa

[krzysiek]

Witam,
mam problem z ponizszym zadaniem.
"Budujemy model ostroslupa prawidlowego trojkatnego. Jaka dlugosc powinny miec krawedzie podstawy i wysokosc jesli chcemy wykonac model o maxymalnej objetosci, a suma dlugosci krawedzi podstawy i wysokosc ostroslupa nie moze przekroczyc 450 cm."
Z gory wielkie dzieki

Tytuł zmieniam bo czego jak czego, ale pola ostrosłupa to w tym zadaniu nie widzę - DEXiu

[DEXiu]

Przyjmijmy maksymalną sumę długości wysokości i krawędzi podstawy (czyli \(\displaystyle{ 4a+h=450}\)). Napiszmy funkcję opisującą objętość ostrosłup w zależności od wartości \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ h}\):
\(\displaystyle{ V(a,h)=\frac{1}{3}a^{2}h}\)
Czyli korzystając z tego, że \(\displaystyle{ h=450-4a}\) mamy:
\(\displaystyle{ V(a)=\frac{1}{3}a^{2}(450-4a)=-\frac{4}{3}a^{3}+150a}\)
Jak łatwo sprawdzić (choćby licząc pochodną) funkcja ta osiąga maksimum lokalne (czyli ostrosłup ma największą objętość) dla \(\displaystyle{ a=75}\), czyli \(\displaystyle{ (a,\,h)=(75,\,150)}\)

[florek177]

W podstawie jest trójkąt.
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{12}{\cdot}\sqrt{3}{\cdot}a^{2}{\cdot}(450-3{\cdot}a)\:\}\); \(\displaystyle{ V^{'}(a) = 0\:\}\) dla \(\displaystyle{ a=100\:\}\); \(\displaystyle{ H\leq150\}\)

[DEXiu]

Ups Pardon - przeoczenie W każym razie ja podałem rozwiązanie dla ostrosłupa prawidłowego czworokątnego