Okrąg wpisany w trójkąt równoramienny

Bartek1991 · Post autor: **Bartek1991** » 6 sie 2009, o 21:52

Punkty \(\displaystyle{ A = (2,-2)}\) i \(\displaystyle{ B = (8,4)}\) są końcami podstawy trójkąta równoramiennego \(\displaystyle{ ABC}\). Wierzchołek \(\displaystyle{ C}\) leży na prostej \(\displaystyle{ x-3y+34 = 0}\). Znajdź równanie okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\).

Jedyne co udało mi się zrobić to znaleźć wierzchołek \(\displaystyle{ C}\). Tak myślałem żeby znaleźć równania prostych zawierających boki trójkąta i są styczne do okręgu, potem podstawić to do równania okręgu i delte przyrównać do zera. Ale otrzymuję straszny układ równań. Ma ktoś jakiś inny pomysł?

nuclear · Post autor: **nuclear** » 6 sie 2009, o 22:05

jak masz punkt C to jesteśmy prawie w domu. wystarczy że znajdziesz prostą przechodzącą przez punkt C i prostopadłą do prostej AB. Środek szukanego okręgu znajduje się na tej prostej oraz jest od niej oddalony o długość promienia który łatwo policzyć przekształcając wzór na pole.

nie wiem czy to jest optymalny sposób rozwiązania ale lepszy teraz nie przychodzi mi do głowy.

blost · Post autor: **blost** » 6 sie 2009, o 22:24

inny sposob to taki ze liczysz punkt przeciecia tej prostej prostopadlej i dwusiecznej jednego z katow.
Dwusieczna wyznaczamy w ten sposob ze liczymy kat miedzy prostymi, dzieki czemu mamy wspolczynnik kierunkowy i liczymy potem rownanie prostej przechodzacej przez punkt A lub B... zaleznie ktorej dwusieczna liczylas

Bartek1991 · Post autor: **Bartek1991** » 6 sie 2009, o 22:25

Nuclear, ale co mi to da? Ja potrzebuję współrzędne środka, mam zatem \(\displaystyle{ r^2 = a^2 + b^2}\), zbyt dużo niewiadomych.

blost · Post autor: **blost** » 6 sie 2009, o 22:36

jemu chodzilo chyba o to zebys obliczyl to ze wzoru
\(\displaystyle{ S= \frac{a+b+c}{2} r}\)

Bartek1991 · Post autor: **Bartek1991** » 6 sie 2009, o 22:43

No na pewno z tego, ale co mi po tym że będę miał długośc promienia? Bardziej potrzebuję współrzędne środka...

-- 6 sie 2009, o 23:13 --

Tym drugim sposobem obliczam cosinus kąta przy wierzchołku \(\displaystyle{ B}\), potem tangens otrzymując \(\displaystyle{ \tg \alpha = 3}\) i równanie tej prostej to \(\displaystyle{ y = 3x -20}\) ale to jest błędne niestety...

blost · Post autor: **blost** » 7 sie 2009, o 07:50

dlugosc promienia po to Ci sie przyda ze mozesz potem rozlozyc go wzgledem wektorow jednostkowych i uzyskac wspolrzedne srodka okregu wzgledem puntu stycznosci (miedzy punktami A i B), zauwaz ze promien prostopadly do odcinka AB bedzie sie zawieral w dwusiecznej CD gdzie D to srodek odcinka AB

podaj wspolrzedne c jakie Ci wyszly to sprawdze czy gdzies robisz blad

Bartek1991 · Post autor: **Bartek1991** » 7 sie 2009, o 10:13

C=(-4,10)-- 8 sie 2009, o 21:43 --I co? Dobrze policzyłem?

smmileey · Post autor: **smmileey** » 3 lut 2011, o 15:21

Chciałem odświeżyć temat, mam w zasadzie podobny problem w zadaniu.
Obliczyłem, ze wierzchołek C ma współrzędne (-4,10).
Zakładając, że współrzędne środka S to \(\displaystyle{ (x_1,-x_1+6)}\) (wierzchołek leży na wysokości trójkąta poprowadzonej z punktu C) próbowałem liczyć na dwa sposoby, jednak pojawiły się pewne nieścisłości.
Najpierw skorzystałem z własności, że odległość punktu S od prostej przechodzącej przez punkty AB jest równa odległości punktu S od prostej przechodzącej przez punkty BC, więc wyszło mi równanie z jedną niewiadomą, skąd obliczyłem, że szukany x1 to \(\displaystyle{ 6-\sqrt{10}}\).
Potem potrzebowałem promień, więc skorzystałem z wzoru \(\displaystyle{ P=p\cdot r}\)
\(\displaystyle{ P=54,p=3\sqrt{2} + 6 \sqrt{5}}\), z tego \(\displaystyle{ r=\frac{54}{ 3 \sqrt{2} + 6 \sqrt{5} }}\).
Jednak kiedy teraz chciałbym obliczyć współrzędne punktu S, mając już promień, wyniki wychodzą mi różne w zależności od tego, czy liczę odległość od AC lub BC (wychodzi \(\displaystyle{ 4 + \sqrt{10}}\)) lub jeśli liczę odległość od AB (\(\displaystyle{ -14 + \sqrt{10}}\)).
Gdzie jest błąd- w rozumowaniu, czy w obliczeniach?

matematyk1995 · Post autor: **matematyk1995** » 21 gru 2013, o 11:09

Przepraszam że odkopuję temat, ale mam pytanie:

Czy rozwiązaniem tego zadania jest: \(\displaystyle{ o_1 = (x-6+ \sqrt{10} )^2 + (y- \sqrt{10} )^2 = 22-4 \sqrt{10}}\)

Nigdzie nie mogę znaleźć odpowiedzi do zadań z Ogólnopolskiej Olimpiady o Diamentowy Indeks AGH.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 21 gru 2013, o 20:53

Nie. Środek wg mnie jest ,,ładny".

matematyk1995 · Post autor: **matematyk1995** » 25 gru 2013, o 17:08

Przeliczyłem wszystko jeszcze raz i wyszedł mi identyczny wynik jak podałem. Nie mam pojęcia, gdzie jest błąd. Moim zdaniem nie ma, ale mogę się mylić.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 25 gru 2013, o 20:31

Ja mam ładny bo wyznaczyłem środek opisanego zamiast wpisanego.

matematyk1995 · Post autor: **matematyk1995** » 25 gru 2013, o 20:42

A no to nic dziwnego że mamy różne środki.