Izometrie - przekształcenie płaszczyzny
-
- Użytkownik
- Posty: 61
- Rejestracja: 24 maja 2009, o 00:25
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 20 razy
Izometrie - przekształcenie płaszczyzny
Treść zadania :
Zbadaj czy podane przekształcenie P płaszczyzny jest izometrią, gdy \(\displaystyle{ x, y \in R}\) oraz:
a) \(\displaystyle{ P((x, y)) = (-x, y + 1)}\)
b) \(\displaystyle{ P((x, y)) = (x - 2, y)}\)
c) \(\displaystyle{ P((x,y)) = (2x, y)}\)
Przeczytałem materiał z podręcznika, ale najgorsze jest to, że nie wiem jak zacząć to zadanie.
Zbadaj czy podane przekształcenie P płaszczyzny jest izometrią, gdy \(\displaystyle{ x, y \in R}\) oraz:
a) \(\displaystyle{ P((x, y)) = (-x, y + 1)}\)
b) \(\displaystyle{ P((x, y)) = (x - 2, y)}\)
c) \(\displaystyle{ P((x,y)) = (2x, y)}\)
Przeczytałem materiał z podręcznika, ale najgorsze jest to, że nie wiem jak zacząć to zadanie.
- Nakahed90
- Użytkownik
- Posty: 9096
- Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 1871 razy
Izometrie - przekształcenie płaszczyzny
Skorzystaj z tego, że izometria zachowuje odległość punktów.
-
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
Izometrie - przekształcenie płaszczyzny
Musisz skorzystać z definicji przekształcenia izometrycznego - mówi ona, że jeśli dowolne dwa punkty potraktujemy takową izometrią, to odległość między nimi nie ulegnie zmianie.
Czyli należy wziąć dwa punkty: \(\displaystyle{ (x_{1}, y_{1}), \ (x_{2}, y_{2})}\) zadziałać funkcją P, policzyć odległość tych dwóch nowych punktów i porównać, czy jest taka sama, jak tych dwóch oryginalnych punktów.
Czyli należy wziąć dwa punkty: \(\displaystyle{ (x_{1}, y_{1}), \ (x_{2}, y_{2})}\) zadziałać funkcją P, policzyć odległość tych dwóch nowych punktów i porównać, czy jest taka sama, jak tych dwóch oryginalnych punktów.
-
- Użytkownik
- Posty: 61
- Rejestracja: 24 maja 2009, o 00:25
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 20 razy
Izometrie - przekształcenie płaszczyzny
Witam, proszę o potwierdzenie czy dobrze to robię (Sorry jak coś za błędny zapis matematyczny )
Wybrałem sobie 2 punkty
\(\displaystyle{ P_{1}(3,7)}\) oraz \(\displaystyle{ P_{2}(5,4)}\)
Liczę odległość dla izometrii P(x,y) z podpunktu a)
\(\displaystyle{ |P_{1}P_{2}|=\sqrt{(5-3)^{2}+(4-7)^{2}}=\sqrt{13}}\)
Liczę odległość dla izometrii P(-x,y+1)
Otrzymane punkty to : \(\displaystyle{ P_{1}(-3,8)}\) oraz \(\displaystyle{ P_{2}(-5,5)}\)
\(\displaystyle{ |P_{1}P_{2}|=\sqrt{(-5-(-3))^{2}+(5-8)^{2}}=\sqrt{13}}\)
Zrobiłem też przykład c) dla tych samych punktów i tam odległości wyszły mi różne tzn : \(\displaystyle{ \sqrt{11}}\) oraz \(\displaystyle{ 5}\) W związku z tym tutaj nie ma chyba izometrii
Wybrałem sobie 2 punkty
\(\displaystyle{ P_{1}(3,7)}\) oraz \(\displaystyle{ P_{2}(5,4)}\)
Liczę odległość dla izometrii P(x,y) z podpunktu a)
\(\displaystyle{ |P_{1}P_{2}|=\sqrt{(5-3)^{2}+(4-7)^{2}}=\sqrt{13}}\)
Liczę odległość dla izometrii P(-x,y+1)
Otrzymane punkty to : \(\displaystyle{ P_{1}(-3,8)}\) oraz \(\displaystyle{ P_{2}(-5,5)}\)
\(\displaystyle{ |P_{1}P_{2}|=\sqrt{(-5-(-3))^{2}+(5-8)^{2}}=\sqrt{13}}\)
Zrobiłem też przykład c) dla tych samych punktów i tam odległości wyszły mi różne tzn : \(\displaystyle{ \sqrt{11}}\) oraz \(\displaystyle{ 5}\) W związku z tym tutaj nie ma chyba izometrii
- Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
Izometrie - przekształcenie płaszczyzny
źle robisz. Jeśli chcesz udowodnić, że coś jest izometria, to nie możesz sobie wybrać dowolnych punktów, tylko musisz sprawdzić dla wszystkich.Sir Kurtz pisze:Witam, proszę o potwierdzenie czy dobrze to robię (Sorry jak coś za błędny zapis matematyczny )
Wybrałem sobie 2 punkty
\(\displaystyle{ P_{1}(3,7)}\) oraz \(\displaystyle{ P_{2}(5,4)}\)
Liczę odległość dla izometrii P(x,y) z podpunktu a)
\(\displaystyle{ |P_{1}P_{2}|=\sqrt{(5-3)^{2}+(4-7)^{2}}=\sqrt{13}}\)
Liczę odległość dla izometrii P(-x,y+1)
Otrzymane punkty to : \(\displaystyle{ P_{1}(-3,8)}\) oraz \(\displaystyle{ P_{2}(-5,5)}\)
\(\displaystyle{ |P_{1}P_{2}|=\sqrt{(-5-(-3))^{2}+(5-8)^{2}}=\sqrt{13}}\)
Zrobiłem też przykład c) dla tych samych punktów i tam odległości wyszły mi różne tzn : \(\displaystyle{ \sqrt{11}}\) oraz \(\displaystyle{ 5}\) W związku z tym tutaj nie ma chyba izometrii
Jeśli chcesz wykazać, że coś nie jest izometrią (tak jak w c) to takie postępowanie jest poprawne, wystarczy znaleźć jeden kontrprzykład.
-
- Użytkownik
- Posty: 61
- Rejestracja: 24 maja 2009, o 00:25
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 20 razy
Izometrie - przekształcenie płaszczyzny
Proszę o zrobienie przykładu a) bo już się zakręciłem w tym ostro.
- Nakahed90
- Użytkownik
- Posty: 9096
- Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 1871 razy
Izometrie - przekształcenie płaszczyzny
Po prostu zamiast przyjmować konkretne punkty zrób dla dowolnyzh punktów \(\displaystyle{ A(x_{A},y_{A})}\) oraz \(\displaystyle{ B(x_{B},y_{B})}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 61
- Rejestracja: 24 maja 2009, o 00:25
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 20 razy
Izometrie - przekształcenie płaszczyzny
Zatem powiedzmy mamy coś takiego (2 punkty):
\(\displaystyle{ A(x_{A}, y_{A})}\) oraz \(\displaystyle{ B(x_{B}, y_{B})}\)
Na płaszczyźnie \(\displaystyle{ P(x,y)}\), mamy:
\(\displaystyle{ |AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}}\)
W obrazie \(\displaystyle{ P'(-x, y+1)}\), mamy:
punkty :
\(\displaystyle{ A'(-x_{A}, y_{A}+1)}\) oraz \(\displaystyle{ B'(-x_{B}, y_{B}+1)}\)
ich odległość:
\(\displaystyle{ |A'B'|=\sqrt{(-x_{B}-(-x_{A}))^{2}+(y_{B}+1-(y_{A}+1))^{2}} = \sqrt{(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}}\)
a wiadomo, że :
\(\displaystyle{ (x_{A}-x_{B})^{2}=(x_{B}-x_{A})^{2}=x^{2}_{A}-2x_{A}x_{B}+X^{2}_{B}}\)
Good ?
\(\displaystyle{ A(x_{A}, y_{A})}\) oraz \(\displaystyle{ B(x_{B}, y_{B})}\)
Na płaszczyźnie \(\displaystyle{ P(x,y)}\), mamy:
\(\displaystyle{ |AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}}\)
W obrazie \(\displaystyle{ P'(-x, y+1)}\), mamy:
punkty :
\(\displaystyle{ A'(-x_{A}, y_{A}+1)}\) oraz \(\displaystyle{ B'(-x_{B}, y_{B}+1)}\)
ich odległość:
\(\displaystyle{ |A'B'|=\sqrt{(-x_{B}-(-x_{A}))^{2}+(y_{B}+1-(y_{A}+1))^{2}} = \sqrt{(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}}\)
a wiadomo, że :
\(\displaystyle{ (x_{A}-x_{B})^{2}=(x_{B}-x_{A})^{2}=x^{2}_{A}-2x_{A}x_{B}+X^{2}_{B}}\)
Good ?