Izometrie - przekształcenie płaszczyzny

[Sir Kurtz]

Treść zadania :

Zbadaj czy podane przekształcenie P płaszczyzny jest izometrią, gdy \(\displaystyle{ x, y \in R}\) oraz:

a) \(\displaystyle{ P((x, y)) = (-x, y + 1)}\)
b) \(\displaystyle{ P((x, y)) = (x - 2, y)}\)
c) \(\displaystyle{ P((x,y)) = (2x, y)}\)

Przeczytałem materiał z podręcznika, ale najgorsze jest to, że nie wiem jak zacząć to zadanie.

[Nakahed90]

Skorzystaj z tego, że izometria zachowuje odległość punktów.

[Rogal]

Musisz skorzystać z definicji przekształcenia izometrycznego - mówi ona, że jeśli dowolne dwa punkty potraktujemy takową izometrią, to odległość między nimi nie ulegnie zmianie.
Czyli należy wziąć dwa punkty: \(\displaystyle{ (x_{1}, y_{1}), \ (x_{2}, y_{2})}\) zadziałać funkcją P, policzyć odległość tych dwóch nowych punktów i porównać, czy jest taka sama, jak tych dwóch oryginalnych punktów.

[Sir Kurtz]

Witam, proszę o potwierdzenie czy dobrze to robię (Sorry jak coś za błędny zapis matematyczny )

Wybrałem sobie 2 punkty

\(\displaystyle{ P_{1}(3,7)}\) oraz \(\displaystyle{ P_{2}(5,4)}\)

Liczę odległość dla izometrii P(x,y) z podpunktu a)

\(\displaystyle{ |P_{1}P_{2}|=\sqrt{(5-3)^{2}+(4-7)^{2}}=\sqrt{13}}\)

Liczę odległość dla izometrii P(-x,y+1)

Otrzymane punkty to : \(\displaystyle{ P_{1}(-3,8)}\) oraz \(\displaystyle{ P_{2}(-5,5)}\)

\(\displaystyle{ |P_{1}P_{2}|=\sqrt{(-5-(-3))^{2}+(5-8)^{2}}=\sqrt{13}}\)

Zrobiłem też przykład c) dla tych samych punktów i tam odległości wyszły mi różne tzn : \(\displaystyle{ \sqrt{11}}\) oraz \(\displaystyle{ 5}\) W związku z tym tutaj nie ma chyba izometrii

[Zordon]

Witam, proszę o potwierdzenie czy dobrze to robię (Sorry jak coś za błędny zapis matematyczny )

Wybrałem sobie 2 punkty

\(\displaystyle{ P_{1}(3,7)}\) oraz \(\displaystyle{ P_{2}(5,4)}\)

Liczę odległość dla izometrii P(x,y) z podpunktu a)

\(\displaystyle{ |P_{1}P_{2}|=\sqrt{(5-3)^{2}+(4-7)^{2}}=\sqrt{13}}\)

Liczę odległość dla izometrii P(-x,y+1)

Otrzymane punkty to : \(\displaystyle{ P_{1}(-3,8)}\) oraz \(\displaystyle{ P_{2}(-5,5)}\)

\(\displaystyle{ |P_{1}P_{2}|=\sqrt{(-5-(-3))^{2}+(5-8)^{2}}=\sqrt{13}}\)

Zrobiłem też przykład c) dla tych samych punktów i tam odległości wyszły mi różne tzn : \(\displaystyle{ \sqrt{11}}\) oraz \(\displaystyle{ 5}\) W związku z tym tutaj nie ma chyba izometrii

źle robisz. Jeśli chcesz udowodnić, że coś jest izometria, to nie możesz sobie wybrać dowolnych punktów, tylko musisz sprawdzić dla wszystkich.
Jeśli chcesz wykazać, że coś nie jest izometrią (tak jak w c) to takie postępowanie jest poprawne, wystarczy znaleźć jeden kontrprzykład.

[Sir Kurtz]

Proszę o zrobienie przykładu a) bo już się zakręciłem w tym ostro.

[Nakahed90]

Po prostu zamiast przyjmować konkretne punkty zrób dla dowolnyzh punktów \(\displaystyle{ A(x_{A},y_{A})}\) oraz \(\displaystyle{ B(x_{B},y_{B})}\)

[Sir Kurtz]

Zatem powiedzmy mamy coś takiego (2 punkty):

\(\displaystyle{ A(x_{A}, y_{A})}\) oraz \(\displaystyle{ B(x_{B}, y_{B})}\)

Na płaszczyźnie \(\displaystyle{ P(x,y)}\), mamy:

\(\displaystyle{ |AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}}\)

W obrazie \(\displaystyle{ P'(-x, y+1)}\), mamy:

punkty :

\(\displaystyle{ A'(-x_{A}, y_{A}+1)}\) oraz \(\displaystyle{ B'(-x_{B}, y_{B}+1)}\)

ich odległość:

\(\displaystyle{ |A'B'|=\sqrt{(-x_{B}-(-x_{A}))^{2}+(y_{B}+1-(y_{A}+1))^{2}} = \sqrt{(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}}\)

a wiadomo, że :

\(\displaystyle{ (x_{A}-x_{B})^{2}=(x_{B}-x_{A})^{2}=x^{2}_{A}-2x_{A}x_{B}+X^{2}_{B}}\)

Good ?

[Zordon]

teraz jak najbardziej. Podobnie zrób b).