Równanie parametryczne

[Bartek1991]

Mamy daną prostą Os przechodzącą przez początek układu współrzędnych O. Niech Os tworzy z osiami Ox i Oy odpowiednio kąty\(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\). Skąd się biorą następujące równania:

\(\displaystyle{ x = x_0 + t \cos \alpha \\ y = y_0 + t \cos \beta}\)

Co to jest w ogóle to \(\displaystyle{ t}\)?

[luka52]

\(\displaystyle{ t}\) jest parametrem i w tym przypadku może przyjmować dowolną wartość rzeczywistą. Gdy ustalisz \(\displaystyle{ t}\), tj. przyporządkujesz mu pewną wartość (już konkretną liczbę) to para liczb \(\displaystyle{ (x,y) = (x_0 + t \cos \alpha, y_0 + t \cos \beta )}\) będzie oznaczać współrzędne pewnego punktu na prostej \(\displaystyle{ Os}\), któremu odpowiada zadana wartość parametru \(\displaystyle{ t}\). Każdemu punktowi należącemu do tej prostej odpowiada pewna wartość parametru.
Jak wyprowadzić to równanie? Wiemy jakie kąty z osiami układu współrzędnych tworzy ta prosta, czyli możemy zapisać, że wektor kierunkowy tej prostej ma postać \(\displaystyle{ \vec{v} = ( \cos \alpha, \cos \beta )}\). Jeżeli przez \(\displaystyle{ P}\) oznaczymy punkt leżący na prostej, to oczywiście mamy:

\(\displaystyle{ P \in Os \iff \exists t \in \mathbb{R} : \vec{OP} = t \vec{v}}\)

Co należy rozumieć tak: wektor łączący środek układu współrzędnych (ogólniej to ustalony punkt na prostej, w tym przypadku takim punktem jest właśnie \(\displaystyle{ (0,0)}\)) z dowolnym punktem należącym do prostej jest równy pewnej wielokrotności wektora kierunkowego. Natychmiast otrzymujemy równanie szukane równanie parametryczne:

\(\displaystyle{ \underbrace{(x,y)}_{\vec{OP}} = t \underbrace{ ( \cos \alpha, \cos \beta ) }_{\vec{v}} \iff \begin{cases} x = t \cos \alpha \\ y = t \cos \beta \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}}\)