Przekształcenie płaszczyzy..nieporozumienie?

[losiu99]

Dany jest okrąg \(\displaystyle{ C(A;r)}\). Punktowi \(\displaystyle{ P}\) koła o tym okręgu przyporządkowano ten sam punkt, zaś punktowi \(\displaystyle{ Q}\) spoza tego koła przyporządkowano taki punkt \(\displaystyle{ Q'}\), że \(\displaystyle{ \stackrel{\longrightarrow}{AQ'}=2\!\stackrel{\longrightarrow}{AQ}}\). Wykaż, że przyporządkowanie to jest przekształceniem wzajemnie jednoznacznym płaszczyzny na płaszczyznę.

Mój problem tkwi w zrozumieniu treści zadania. Czy punkty \(\displaystyle{ P,Q}\) należy interpretować jako konkretne punkty płaszczyzny, czy ogół punktów odpowiednio wewnątrz koła czy poza nim? Jeśli jako konkretne punkty, to co z resztą? Przekształcenie nie jest dla nich określone (trochę bez sensu, zważywszy na polecenie...), czy są jego punktami stałymi?
Jeśli zaś (co chyba bardziej prawdopodobne) chodzi o ogół punktów wewnątrz i poza kołem, to obrazem płaszczyzny jest płaszczyzna bez pierścienia o środku w \(\displaystyle{ A}\) i promieniach \(\displaystyle{ r, 2r}\), zatem teza do udowodnienia jest nieprawdziwa i w książce jest błąd.

Przepraszam za tak mało "matematyczny" i nieciekawy problem, mam nadzieję że nie wynika on jedynie z jakiegoś napadu kretynizmu.
Z góry dziękuję za pomoc.

[JankoS]

Obrazem płaszcyzny w \(\displaystyle{ \Pi}\) tym przekształceniu jest \(\displaystyle{ \Pi - D}\), gdzie \(\displaystyle{ D=\{X \in \Pi:r<AX<2r \}}\), czyli wnętrze pierścienia, o którym pisze Kolega.

[losiu99]

Dziękuję za rozwianie moich wątpliwości.