zapisać jako równanie parametryczne i kanoniczne

[elewinka001]

napisać równanie parametryczne i kanoniczne prostych spełniających następujące warunki:
a) prosta przechodzi przez punkt P (1,-5,3) i jest prostopadła do płaszczyzny x-y+3z-2=0
b) prosta jest częscią wspólną płaszczyzny x+2z-4=0 i x-y+6=0

[scyth]

a) z równania płaszczyzny odczytaj wektor normalny - jest on wektorem kierunkowym szukanej prostej
b) rozwiąż układ równań utworzony przez te dwie płaszczyzny

[elewinka001]

mogłabym konkretnej.. nie kapuje nic z geometrii

[losiu99]

a) Równanie parametryczne i kanoniczne prostej jest na wikipedii, proponuję zacząć od parametrycznego. Potrzeba do niego tylko wektora, do którego prosta ma być równoległa. Jak go wyznaczyć, powiedział scyth.

b) Podane równania opisują własność punktów należących do jednej i drugiej płaszczyzny. Część wspólna powinna rzecz jasna spełniać obydwa warunki, stąd układ równań jest postacią ogólną szukanej prostej. Wybieramy jakiś punkt, znajdujemy wektor równoległy do szukanej prostej i voila.

Zaznaczam, że ta druga metoda może różnić się od powszechnie wykorzystywanych w tego typu zadaniach, gdyż geometrii analitycznej w 3d nigdy nie robiłem, jednak z pewnością prowadzi dość łatwo do wyniku. W razie niejasności pytaj śmiało.
Pozdrawiam.

[elewinka001]

problem w tym że niestety nie jarze co do mnie piszecie.. naprawdę geometria jest dla mnie najsłabszym punktem. Abym mogła wiedzieć jak rozwiązywać tego typu i inne zadania muszę mieć przynajmniej rozwiązane zadanie bym mogła się na czymś wzorować ... i opisane krok po kroku co jest robione.Wtedy na pewno zajarze . Mam egzamin z tego i dlatego chciałabym aby ktoś rozwiązał zadanie.-- 21 lip 2009, o 19:05 --Udało mi się tylko zamienić na parametryczne:
wektor normalny płaszczyzny [1,-1,3] i jest to równocześnie wektor kierunkowy prostej k.
Prosta k zawiera punkt P (1,-5,3) wiec jej równanie parametryczne to:
x=t+1
y=-t-5
z=3t+3

Mam nadzieje ze chociaż dobrze zaczęłam, ale nie wiem co dalej robić by stworzyć jeszcze równanie kanoniczne.
Jeżeli chodzi o punkt b) nie wiem jak w ogóle zacząć. Próbowałam rozwiązać układ równań ale i tak wychodzą niewiadome

[losiu99]

a) Bardzo dobrze, to jest równanie parametryczne. Wynikają z niego następujące równości:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=t+1\\y=-5-t\\z=3t+3\end{cases}\iff\begin{cases}t=x-1\\t=-5-y\\t=\frac{z-3}{3}\end{cases}}\),
zatem
\(\displaystyle{ x-1=-5-y=\frac{z-3}{3}}\)
a to jest właśnie postać kanoniczna tej prostej.

b) Nie wiem, na ile ta metoda jest "standardowa", więc jeśli uznasz ją za dziwną, to pewnie będziesz miała rację
Mamy postać ogólną - układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x+2z-4=0\\x-y+6=0\end{cases}}\)
Chcemy znaleźć wektor \(\displaystyle{ \vec{v}=\left[a,b,c\right]}\) równoległy do prostej. Jeśli punkt \(\displaystyle{ P=(x,y,z)}\) spełnia układ (należy do prostej), to po przesunięciu o \(\displaystyle{ \vec{v}}\) też będzie je spełniał (bo \(\displaystyle{ \vec{v}}\) ma być równoległy). Mamy więc coś takiego:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x+2z-4=0\\x-y+6=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}(x+a)+2(z+c)-4=0\\(x+a)-(y+b)+6=0\end{cases}}\)
Po skorzystaniu z równości z pierwszego układu, w drugim otrzymujemy
\(\displaystyle{ \begin{cases}a+2c=0\\a-b=0\end{cases}}\)
Takich liczb jest oczywiście nieskończenie wiele, możemy wybrać jakieś proste, np. \(\displaystyle{ a=2,b=2,c=-1}\). Mamy wektor równoległy do prostej, (imho) najtrudniejsze za nami. Znajdujemy jakikolwiek punkt należący do naszej prostej (nie powinno być to trudne), np. \(\displaystyle{ P=(-6,0,5)}\) i piszemy równania, jak w a). Jak już wspominałem, nie wiem czy tak się to zazwyczaj robi, ale sposób jest poprawny. W razie dalszych wątpliwości pytaj śmiało.
Pozdrawiam.

[scyth]

Jest coś takiego jak równanie krawędziowe prostej - każda prosta może być opisana jako część wspólna dwóch płaszczyzn. W tym przypadku mamy oczywiście:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x+2z-4=0 \\
x-y+6=0
\end{cases}}\)
Najprostszym sposobem przejścia do równania kanonicznego może być obranie jakiejś zmiennej za zmienną "właściwą" oraz przedstawienie pozostałych za pomocą tej jednej. W tym przypadku jest to szczególnie proste:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
z=\frac{4-x}{2} \\
y=x+6
\end{cases} \ \vee \
\begin{cases}
x=4-2z \\
x=y-6
\end{cases}}\)
Skąd masz już równanie:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x=t \\
y=t+6 \\
z=\frac{4-t}{2}
\end{cases}}\)
lub jeśli wolisz:
\(\displaystyle{ x=y-6=4-2z}\)

[elewinka001]

dziękuję Wam bardzo