Prostopadłość wektorów, parametr

[patry93]

Witam.

Dane są wektory \(\displaystyle{ \vec{u} = (\vec{a} + \vec{b}) \ i \ \vec{v} = (2 \vec{a} + k \cdot \vec{b} )}\). Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ k \in \mathbb{R}}\) wektory \(\displaystyle{ \vec{u} \ i \ \vec{v}}\) są prostopadłe, jeżeli: \(\displaystyle{ | \vec{a}| = 4, \ | \vec{b}|=5, \ \vec{a} \circ \vec{b} = 7}\)?

Wiem, że jeśli wektory mają być prostopadłe, to iloczyn skalarny tych wektorów jest równy 0, ponieważ cosinus kąta między tymi wektorami jest równy 0. Potrafię policzyć cosinus kąta między wektorami \(\displaystyle{ \vec{a} \ i \ \vec{b}}\), lecz nic ponadto...

Proszę o wskazówki.

Pozdrawiam, P.

[Inkwizytor]

Niech
\(\displaystyle{ \vec{a} = \left[ a_x , a_y\right]\\
\vec{b} = \left[ b_x , b_y\right]\\
\vec{u} = \vec{a} + \vec{b} \ \Rightarrow \ \vec{u} = \left[ a_x+b_x , a_y+b_y\right] \\
\vec{v} = 2\vec{a} + k\cdot \vec{b} \ \Rightarrow \ \vec{u} = \left[ 2a_x+kb_x , 2a_y+kb_y\right]\\}\)

Wektory \(\displaystyle{ \vec{u} \ , \ \vec{v}}\) mają być prostopadłe czyli:
\(\displaystyle{ \vec{u} \circ \vec{v} = 0}\) stąd
\(\displaystyle{ \left[ a_x+b_x , a_y+b_y\right] \circ \left[ 2a_x+kb_x , 2a_y+kb_y\right] = 0 \\
(a_x+b_x) \cdot (2a_x+kb_x) + (a_y+b_y) \cdot (2a_y+kb_y) = 0 \\
2{a_x}^2 + 2a_x b_x + ka_xb_x + k{b_x}^2 + 2{a_y}^2 + 2a_y b_y + ka_yb_y + k{b_y}^2 = 0 \\
2{a_x}^2 + (k+2)a_x b_x + k{b_x}^2 + 2{a_y}^2 + (k+2)a_y b_y + k{b_y}^2 = 0 \\}\)
Zmieniam kolejność by zauważyć pewne rzeczy:
\(\displaystyle{ 2 \left[{a_x}^2 + {a_y}^2 \right] + k \left[{b_x}^2 + {b_y}^2 \right] + (k+2) \left[a_x b_x + a_y b_y \right] = 0}\)
Teraz parę definicji:
\(\displaystyle{ { \left| \vec{a} \right| }^2 = {a_x}^2 + {a_y}^2 \\
\vec{a} \circ \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y}\)
Stąd
\(\displaystyle{ 2{ \left| \vec{a} \right| }^2 + k{ \left| \vec{b} \right| }^2 + (k+2)( \vec{a} \circ \vec{b}) = 0 \\
2 \cdot 4^2 + k \cdot 5^2 + (k+2) \cdot 7 =0}\)

[patry93]

Dziękuję

Hm, pewnie nie wpadłbym na to, aby rozpisać sobie te wektory "na składowe w []" i chciałem to zrobić z zapisem \(\displaystyle{ \vec{}}\). Rozumiem, że inaczej się raczej nie da, ponieważ wtedy cosinus kąta między tymi wektorami jest równy 0, a to oznacza, że nie wiemy nic o samych wektorach?

[frej]

Po co wam współrzędne? Piszę bez strzałek bo szybciej Ma być tak:
\(\displaystyle{ 0=u\circ v = (a+b)\circ (2a+kb)=2\left|a\right|^2 +(k+2) ( a\circ b) +k \left| b\right|^2}\)
Pamiętaj , że \(\displaystyle{ x\circ x =\left| x \right|^2}\)