Pole trójkąta a płaszczyzna

marthoocha · Post autor: **marthoocha** » 4 lip 2009, o 22:31

Obliczyć pole trójkąta, którego wierzchołkami są punkty przecięcia osi układu współrzędnych z płaszczyzną Π : 2x-y+3z+5=0.

Byłabym bardzo wdzięczna, gdyby ktoś powiedział mi, jak mam to policzyć. Z góry dziękuję

Post autor: **Dasio11** » 4 lip 2009, o 23:03

Najpierw policz współrzędne wierzchołków podstawiając 3 razy \(\displaystyle{ 0}\) za dwie z trzech niewiadomych, potem policz boki z Pitagorasa, i na koniec pole z Herona.

marthoocha · Post autor: **marthoocha** » 4 lip 2009, o 23:25

Dziękuję ślicznie

nuclear · Post autor: **nuclear** » 4 lip 2009, o 23:44

a nie łatwiej skorzystać ze wzoru zawierającego wyznacznik do policzenia tego pola niż bawić się Heronem.

marthoocha · Post autor: **marthoocha** » 5 lip 2009, o 00:01

Myślałam, że wyznacznik obowiązuje tylko wtedy, gdy mamy układ dwóch współrzędnych... W takim razie na trzech nie wiem jak to zastosować.

nuclear · Post autor: **nuclear** » 5 lip 2009, o 00:27

ogólnie ten wzór powstaje z iloczynu wektorowego dwóch wektorów na których jest oparty ten trójkąt.
czyli wyznaczas sobie wektory \(\displaystyle{ \vec{AB}=[x_1;y_1;z_1]}\) i \(\displaystyle{ \vec{AC}=[x_2;y_2;z_2]}\)
i dalej na iloczynie wyznacznik

\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\end{vmatrix}}\)
jak wyliczysz do postaci \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}(\alpha\vec{i}+\beta \vec{j}+\gamma \vec{k})}\) to z Pitagorasa \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}\sqrt{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}}}\)

powinno być jednak szybciej niż Heronem

marthoocha · Post autor: **marthoocha** » 5 lip 2009, o 19:42

Dzięki