Równanie okręgu

[Aga2909]

Dany jest okrąg O \(\displaystyle{ x ^{2} +y ^{2} -8x -2y +1=0}\) i prosta m 2x - y + 2 = 0. Znajdź równanie okręgu O', stycznego do prostej m i przechodzącego przez środek okręgu O, jeśli wiadomo, że środek okręgu O' leży na prostej o równaniu x - y =0

[lukasz1804]

Okrąg O' przechodzi przez środek okręgu O, tj. przez punkt (4,1). Ponieważ środek okręgu O' leży na prostej y=x, to jego współrzędne są postaci \(\displaystyle{ (a,a)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ a}\). Co więcej, odległość tego punktu od prostej m i od punktu (4,1) jest stała i równa promieniowi \(\displaystyle{ r}\) okręgu O'. Zatem ze wzoru na odległość punktu od prostej i odległość dwóch punktów na płaszczyźnie mamy \(\displaystyle{ r^2=(\frac{|2a-a+2|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}})^2=(a-4)^2+(a-1)^2}\). Stąd \(\displaystyle{ \frac{(a+2)^2}{5}=2a^2-10a+17}\), więc \(\displaystyle{ a^2+4a+4=10a^2-50a+85}\), tj. \(\displaystyle{ 9a^2-54a+81=0}\). Zatem mamy \(\displaystyle{ a^2-6a+9=0}\), czyli \(\displaystyle{ a=3}\).
Wobec tego \(\displaystyle{ r^2=(3-4)^2+(3-1)^2=1+4=5}\), więc równanie szukanego okręgu jest postaci \(\displaystyle{ (x-3)^2+(y-3)^2=5}\).

[JankoS]

\(\displaystyle{ r=\frac{|2a-a+2|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=(a-4)^2+(a-1)^2}\).

Tu jest coś nie tak.

[lukasz1804]

Dziękuję za uwagę. Post poprawiłem.