Płaszczyzna przechodząca przez punkt

[plibudaszcz]

Witam. proszę o pomoc w rozwiązaniu zadań
1.Znaleźć równanie płaszczyznyprzechodzącej przez punkt A=(0,0,0) i prostej do płaszczyzny 2x-y+3=0

2.Znaleźć pole równoległoboku zbudowanego na wektorach:
\(\displaystyle{ \vec{a}=3 \vec{m} -2 \vec{n}}\),
\(\displaystyle{ \vec{b} = \vec{m} + \vec{n}}\)
jeśli wiadomo, że \(\displaystyle{ \left| \vec{m} \right|=2}\), \(\displaystyle{ \left| \vec{n} \right| =1}\)
<( \(\displaystyle{ \vec{m} , \vec{n} )= {2 \choose 3}}\) \(\displaystyle{ \prod_{}^{}}\)

[BettyBoo]

1.Znaleźć równanie płaszczyznyprzechodzącej przez punkt A=(0,0,0) i prostej do płaszczyzny 2x-y+3=0

Sformułuj jeszcze raz treść tego zadania, bo na razie jest trochę bez sensu

2.Znaleźć pole równoległoboku zbudowanego na wektorach:
\(\displaystyle{ \vec{a}=3 \vec{m} -2 \vec{n},}\)
\(\displaystyle{ \vec{b} = \vec{m} + \vec{n}}\)
jeśli wiadomo, że \(\displaystyle{ \left| \vec{m} \right|=2, \left| \vec{n} \right| =1}\)
\(\displaystyle{ <( \vec{m} , \vec{n} )= {2 \choose 3} \prod_{}^{}}\)

Jesteś pewien, że chodzi o \(\displaystyle{ {2 \choose 3} \prod_{}^{}}\)? Czy może ma być \(\displaystyle{ \frac{2}{3}\pi}\) ?

Pozdrawiam.

[plibudaszcz]

.Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A=(0,0,0) i prostopadłej do płaszczyzny 2x-y+3=0-- 28 cze 2009, o 11:57 --Jesteś pewien, że chodzi o \(\displaystyle{ {2 \choose 3} \prod_{}^{}}\)? Czy może ma być \(\displaystyle{ \frac{2}{3}\pi}\) ?
Tak oczywiscie masz racje powinno być \(\displaystyle{ \frac{2}{3}\pi}\)
Przepraszam za błędy

[BettyBoo]

Ad 1) Płaszczyzna 2x-y+3=0. Wektor normalny [A,B,C] szukanej płaszczyzny jest prostopadły do tego, a więc spełnia warunek \(\displaystyle{ 2A-3B=0}\), a więc (po pomnożeniu przez 2) szukana płaszczyzna ma postać \(\displaystyle{ 3Bx+2By+2Cz=0}\) i jest określona niejednoznacznie.

Jesteś pewien, że chodzi o taką właśnie treść zadania?

Ad 2) pole równoległoboku jest równe długości iloczynu wektorowego wektorów a i b - a więc z własności iloczynu wektorowego mamy

\(\displaystyle{ P=|\vec{a}\times \vec{b}|=|(3 \vec{m} -2 \vec{n})\times (\vec{m} + \vec{n})|=|3\vec{m}\times \vec{m}+ 3\vec{m}\times \vec{n}-2\vec{n}\times \vec{m}-2\vec{n}\times \vec{n}|}\)

Ponieważ

\(\displaystyle{ \vec{x}\times\vec{x}=0,\ \vec{x}\times \vec{y}=-\vec{y}\times \vec{x},\ |\vec{x}\times \vec{y}|=|\vec{x}||\vec{y}|sin \sphericalangle (\vec{x},\vec{y})}\)

to z tego dalej mamy

\(\displaystyle{ P=5|\vec{m}\times \vec{n}|=5\cdot 2\cdot 1\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}}\)

Pozdrawiam.