Promień krzywizny

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
AdamKielce
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 23 cze 2009, o 14:33
Płeć: Mężczyzna

Promień krzywizny

Post autor: AdamKielce »

Mam problem w rozwiązaniu takiego zadania:



Jak widać chodzi o znalezienie promienia krzywizny (cykloidy), jednak gdzie nie szukam to ten promień krzywizny opisują dwa parametryczne równania, a ja mam znaleźć po prostu R. Ktoś ma jakiś pomysł ?
Awatar użytkownika
nuclear
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1501
Rejestracja: 22 paź 2006, o 12:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 264 razy

Promień krzywizny

Post autor: nuclear »

znalazłeś parametryczne równanie cykloidy? to wystarczy tylko podstawić do wzoru na promień krzywizny
AdamKielce
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 23 cze 2009, o 14:33
Płeć: Mężczyzna

Promień krzywizny

Post autor: AdamKielce »

Nie znalazłem wzorów parametrycznych, tylko napisałem, że wszędzie takie podają i nie wiem jak z nich skorzystać. Poza tym, w linku który wysłałeś wzór zakłada |1/k| tylko k wcale nie jest uzależnione od żadnych X i Y z równania parametrycznego.
Awatar użytkownika
nuclear
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1501
Rejestracja: 22 paź 2006, o 12:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 264 razy

Promień krzywizny

Post autor: nuclear »

chcemy na początek znaleźć zależność x(t)
zauważmy że nasz ruch jest złożeniem ruchu obrotowego oraz ruchu postępowego
jak łatwo zauważyć odległość na jaką przesunie się po x w wyniku obrotu o kąt \(\displaystyle{ \varphi}\) wynosi
\(\displaystyle{ -rsin\varphi}\) ale koło przesunęło się w tym czasie o długość łuku opartego na tym kącie czyli \(\displaystyle{ r\varphi}\) dodając te przesunięcia dostajemy że
\(\displaystyle{ x(\varphi)=r\varphi -rsin\varphi=r(\varphi -sin\varphi)}\)
dokonując podobnej analizy na y dostaniemy że
\(\displaystyle{ y(\varphi)=r(1-rcos\varphi)}\)
teraz zakładamy że koło porusza się bez przyśpieszenia i poślizgu czyli
\(\displaystyle{ \varphi(t)=\omega t\\ \omega =\frac{V}{r}}\)

pozestawiaj sobie te wzory i policz najpierw krzywiznę drugi wzór na stronie (ten dla krzywej parametrycznej)
a promień krzywizny to odwrotność krzywizny.

mam nadzieje że wszystko jasne
AdamKielce
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 23 cze 2009, o 14:33
Płeć: Mężczyzna

Promień krzywizny

Post autor: AdamKielce »

r - sin(fi) wcale nie rowna sie r(fi - sin(fi)) ?
Awatar użytkownika
nuclear
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1501
Rejestracja: 22 paź 2006, o 12:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 264 razy

Promień krzywizny

Post autor: nuclear »

błąd wynikał z złego zastosowania komendy LaTeXu

Kod: Zaznacz cały

varphi
teraz poprawione
AdamKielce
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 23 cze 2009, o 14:33
Płeć: Mężczyzna

Promień krzywizny

Post autor: AdamKielce »

OK Dzięki
ODPOWIEDZ