Witam na egzaminie z algebry dostałem zadanie z którym nie moge sobie poradzić mając do dyspozycji wszystkie materiały. Treść zadania:
\(\displaystyle{ \vec{a}=1}\)
\(\displaystyle{ \vec{b}=1}\)
\(\displaystyle{ \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{-1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \vec{p} = \vec{a} - \vec{b}}\)
\(\displaystyle{ \vec{r} = \vec{a} + \vec{b}}\)
Obliczyć:
\(\displaystyle{ cos \sphericalangle ( \vec{p}, \vec{r})}\)
Bardzo prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu tego zadania w miare jak najszybciej.
cosinus kąta, wektory.
-
BettyBoo
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
cosinus kąta, wektory.
Coś naściemniałeś w treści - zapewne chodzi Ci o o to, że długość wektorów a i b jest równa 1, a nie same wektory?
Mamy wzór na iloczyn skalarny dwóch wektorów \(\displaystyle{ \vec{x}\cdot\vec{y}=|\vec{x}||\vec{y}|cos \sphericalangle ( \vec{x}, \vec{y})}\).
Sprawdzamy najpierw, czy wektory p i r są niezerowe (pamiętając, że \(\displaystyle{ \vec{x}^2=\vec{x}\cdot \vec{x}=|\vec{x}|^2}\)):
\(\displaystyle{ |\vec{p}|=\sqrt{\vec{p}^2}=\sqrt{(\vec{a} - \vec{b})^2}=\sqrt{\vec{a}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{b}^2}=\sqrt{1-2\cdot 1\cdot 1\cdot \frac{-1}{2}+1}=\sqrt{3}}\)
Analogicznie otrzymujemy, że \(\displaystyle{ |\vec{r}|=\sqrt{1+2\cdot 1\cdot 1\cdot \frac{-1}{2}+1}=1}\)
a więc oba wektory są niezerowe. Wobec tego ze wzoru na iloczyn skalarny mamy:
\(\displaystyle{ cos \sphericalangle ( \vec{p}, \vec{r})=\frac{\vec{p}\cdot \vec{r}}{|\vec{p}|\,| \vec{r}|}}\)
Mianownik już mamy, obliczamy licznik - z własności iloczynu skalarnego mamy
\(\displaystyle{ \vec{p} \cdot \vec{r}=( \vec{a} - \vec{b})\cdot (\vec{a} + \vec{b})=\vec{a}^2-\vec{b}^2=1-1=0}\)
co oznacza, że \(\displaystyle{ cos \sphericalangle ( \vec{p}, \vec{r})=0}\), czyli wektory p i r są prostopadłe.
Pozdrawiam.
Mamy wzór na iloczyn skalarny dwóch wektorów \(\displaystyle{ \vec{x}\cdot\vec{y}=|\vec{x}||\vec{y}|cos \sphericalangle ( \vec{x}, \vec{y})}\).
Sprawdzamy najpierw, czy wektory p i r są niezerowe (pamiętając, że \(\displaystyle{ \vec{x}^2=\vec{x}\cdot \vec{x}=|\vec{x}|^2}\)):
\(\displaystyle{ |\vec{p}|=\sqrt{\vec{p}^2}=\sqrt{(\vec{a} - \vec{b})^2}=\sqrt{\vec{a}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{b}^2}=\sqrt{1-2\cdot 1\cdot 1\cdot \frac{-1}{2}+1}=\sqrt{3}}\)
Analogicznie otrzymujemy, że \(\displaystyle{ |\vec{r}|=\sqrt{1+2\cdot 1\cdot 1\cdot \frac{-1}{2}+1}=1}\)
a więc oba wektory są niezerowe. Wobec tego ze wzoru na iloczyn skalarny mamy:
\(\displaystyle{ cos \sphericalangle ( \vec{p}, \vec{r})=\frac{\vec{p}\cdot \vec{r}}{|\vec{p}|\,| \vec{r}|}}\)
Mianownik już mamy, obliczamy licznik - z własności iloczynu skalarnego mamy
\(\displaystyle{ \vec{p} \cdot \vec{r}=( \vec{a} - \vec{b})\cdot (\vec{a} + \vec{b})=\vec{a}^2-\vec{b}^2=1-1=0}\)
co oznacza, że \(\displaystyle{ cos \sphericalangle ( \vec{p}, \vec{r})=0}\), czyli wektory p i r są prostopadłe.
Pozdrawiam.
cosinus kąta, wektory.
Dokładnie o to mi chodziło w biegu zapomniałem paru kresek hehe
Dzięki wielkie za pomoc
Dzięki wielkie za pomoc