Znaleźć punkt symetryczny do punktu względem płaszczyzny

[Katia_bz]

Znaleźć punkt symetryczny do punktu A(1,2,-1) względem płaszczyzny x + y - 3z + 5 = 0

ratunku.. nawet nie wiem jak zaczac... i co mam zrobic z ta 5...

[BettyBoo]

Znaleźć punkt symetryczny do punktu A(1,2,-1) względem płaszczyzny x + y - 3z + 5 = 0

ratunku.. nawet nie wiem jak zaczac... i co mam zrobic z ta 5...

Nic

Punktu symetrycznego szuka się z definicji:

Krok 1 Napisz równanie prostej prostopadłej do podanej płaszczyzny i przechodzącej przez punkt A.
Krok 2 Znajdź punkt wspólny P tej prostej i podanej płaszczyzny
Krok 3 Skorzystaj z warunku na odbicie symetryczne, który wiąże punkty A, P i A' (rzut) - np warunek można zapisać w postaci
\(\displaystyle{ \vec{AP}=\vec{PA'}}\) (albo w jakiejkolwiek innej, np \(\displaystyle{ \vec{AP}=-\vec{A'P}}\) czy też \(\displaystyle{ \vec{AP}=2\vec{AA'}}\) lub jakiejś podobnej).

Pozdrawiam.

[Katia_bz]

a kto pomoze mi to zrobic? chociaz jak zaczac...

[BettyBoo]

Ad krok1 Wektor normalny płaszczyzny jest podany w jej równaniu i jest równy [1,1,-3]. Jest to równocześnie wektor kierunkowy prostej prostopadłej do tej płaszczyzny oraz A=(1,2,-1), a więc szukana prosta ma równanie

\(\displaystyle{ x=1+t,\ y=2+t,\ z=-1-3t,\ t\in\mathbb{R}}\)

Ad krok2 Rozwiązujemy układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases}x=1+t\\ y=2+t\\ z=-1-3t\\ x+y-3z+5=0\end{cases}}\)

Wstawiając pierwsze trzy równania do czwartego mamy:

\(\displaystyle{ 1+t+2+t-3(-1-3t)+5=0\ \Rightarrow \ t=-1}\)

a więc - wstawiając z powrotem do równania prostej mamy P=(0,1,2).

Ad krok3 Niech szukany rzut będzie punktem \(\displaystyle{ A'=(x_0,y_0,z_0)}\). Tworzymy wektory \(\displaystyle{ \vec{AP}=[0-1,1-2,2-(-1)]=[-1,-1,3]}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{PA'}=[x_0-0,y_0-1,z_0-2]}\). Z warunku \(\displaystyle{ \vec{AP}=\vec{PA'}}\) mamy

\(\displaystyle{ [-1,-1,3]=[x_0,y_0-1,z_0-2]\ \Rightarrow \ A'=(x_0,y_0,z_0)=(-1,0,5)}\)

Pozdrawiam.

[Katia_bz]

super dziekuje:) juz teraz wiem o co chodzi w tego rodzaju zadaniach.. juz 2 razy oblalam z tego kolokwium.. a terazz oblalam egzamin.. poprawke mam w poniedzialek wiec mysle ze juz bedzie dobrze:P