Równanie płaszczyzny

[tieve]

Napisz równanie ogólne płaszczyzny przechodzącej przez punkt A=(4,1,-6) oraz zawierającej prostą l:
x=3+2t
y=-5-4t
z=-7+3t

Bardzo proszę o pomoc i w miarę dokładne rozpisanie kroków.

[meninio]

Równanie płaszczyzny:

\(\displaystyle{ \Pi: ax+by+cz+d=0}\) gdzie \(\displaystyle{ \vec{n}=[a,b,c]}\) - wektor normalny do płaszczyzny

Aby, znaleźć wektor normalny do płaszczyzny musisz znać dowolne dwa wektory \(\displaystyle{ \vec{v_1}, \vec{v_2}}\) równoległe (lub leżące na tej płaszczyźnie) do tej płaszczyzny, bo wtedy zachodzi:

\(\displaystyle{ \vec{n}=\vec{v_1} \times \vec{v_2}}\)

Szukamy wektorów.
Po pierwsze do płaszczyzny należy prosta l, której wektor równoległy leży na płaszczyźnie, czyli:

\(\displaystyle{ \vec{v_1}=[2,-4,3]}\)

Potrzebny jeszcze jeden wektor. Weźmy dowolny punkt należący do prostej (a co za tym idzie również do płaszczyzny). Dla \(\displaystyle{ t=0}\) mamy, że \(\displaystyle{ l\ni B=(3,-5,-7)}\). W ten sposób tworzymy drugi wektor z punktem A, który należy do tej płaszczyny:

\(\displaystyle{ \vec{v_2}=\vec{AB}= [-1,-6,-1]}\)

Po prostych rachunkach wyliczamy z iloczynu wektorowego wektor normalny do płaszczyzny:

\(\displaystyle{ \vec{n}=[22,-1,-16]}\)

Wstawiamy do równania płaszczyzny:

\(\displaystyle{ \Pi: 22x-y-16z+d=0}\)

Wstawiamy punkt A do powyższego równania i wyznaczamy d: \(\displaystyle{ d=-183}\)

Ostatecznie:

\(\displaystyle{ \Pi: 22x-y-16z-183=0}\)

[tieve]

Dziękuje bardzo za pomoc, wszystko już rozumiem