Odległość punktu od prostej

[feniks.g]

Witam

Mam problemy z rozwiązaniem takiego zadania:
Obliczyć odległość punktu \(\displaystyle{ M = (2;-1;3)}\) od prostej \(\displaystyle{ \frac{x + 1}{3} = \frac{y + 2}{4} = \frac{z - 1}{5}.}\)

Zadanie można rozwiązać co najmniej na dwa sposoby ale ja mam skorzystać z tych informacji:

Punkt \(\displaystyle{ M_{0} = (-1;-2;1)}\) jest punktem na prostej, \(\displaystyle{ V = [3;4;5]}\) jest wektorem kierunkowym prostej, a odległość

\(\displaystyle{ d = |M_{0} M|sin \alpha = \frac{|M_{0} M| |V \times \vec{M_{0} M}| }{v |M_{0} M|} = \frac{|V \times \vec{M_{0}M}| }{v}}\)

Muszę także rozumieć co to oznacza: \(\displaystyle{ d = \frac{|V \times \vec{M_{0} M}| }{v}}\)

\(\displaystyle{ \vec{M_{0} M}}\) - to jest wektor.

Nie wiem jak podstawić dane pod wzór na odległość d oraz jak powstał ten wzór.

Dziękuję bardzo temu kto mi to wytłumaczy.

Serdecznie pozdrawiam
Wojtek

[Kamil_B]

Co oznacza to małe v ?

[feniks.g]

To jest mój największy problem. Może to jest jakaś długość wektora, jakaś odległość...? To małe \(\displaystyle{ v}\) w książce jest takiej samej wielkości jak duże ale to duże v jest mocno pogrubione, a małe \(\displaystyle{ v}\) takie zakręcone, tj wyżej się wyświetla.

Zadanie to jest z W. P. Minorskiego "Zbiór zadań z matematyki wyższej" numer: 503. Szukam ciągle w tej książce co to jest to małe \(\displaystyle{ v}\) ale nie widzę nic takiego.

[Kamil_B]

Na mój gust \(\displaystyle{ v}\) jest tutaj po prostu długością wektora kierunkowego.
Wtedy po zrzutowaniu punktu \(\displaystyle{ M}\) na tą prostą mamy, że :

\(\displaystyle{ sin\alpha = \frac{d}{ \left| M M_{0} \right| } \Rightarrow d=sin\alpha \left| M M_{0} \right|}\)

ale z definicji iloczynu wektorowego:
\(\displaystyle{ |V \times \vec{M_{0} M}| = sin \alpha \left| M M_{0} \right| v}\)

dalej wystarczy poskracać co się dai tyle.

( \(\displaystyle{ M'}\)-rzut prostokątny punktu \(\displaystyle{ M}\)na prosta, \(\displaystyle{ \alpha}\)-kąt pomiedzy wektorami \(\displaystyle{ MM _{0}}\) oraz\(\displaystyle{ MM'}\)

[feniks.g]

Dzięki za podpowiedź. Próbuję to teraz rozwiązać i mi coś nie wychodzi.

Wykorzystuję wzór: \(\displaystyle{ d = \frac{|V \times \vec{M_{0} M}| }{v}}\)

Obliczam \(\displaystyle{ \vec{M_{0} M}}\) z \(\displaystyle{ M = (2;-1;3)}\) i \(\displaystyle{ M_{0} = (-1;-2;1)}\)

Wychodzi mi: \(\displaystyle{ \vec{M_{0} M}=[1;-3;2]}\)

\(\displaystyle{ v = \sqrt{ a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2}} = \sqrt{ 3^{2} + 4^{2} + 5^{2}} = 5 \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ d = \frac{|V \times \vec{M_{0} M}| }{v} = \frac{|[3;4;5] \times [1;-3;2]|}{5 \sqrt{2}} = \frac{\left[\begin{array}{ccc} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\3&4&5\\1&-3&2\end{array}\right]}{5 \sqrt{2}}}\)

Powiecie mi co źle robię?

Ma wyjść wynik \(\displaystyle{ 0,3 \sqrt{38}}\)

[Kamil_B]

\(\displaystyle{ \vec{M_{0} M}=[3;1;2]}\)
Jak przeliczysz ten iloczyn wektorowy powinno byc ok .

[feniks.g]

Heh też próbowałem wcześniej w drugą stronę odjąć współrzędne puntów ale poźniej musiałem się pomylić. Teraz dobrze wyszło.
Wielkie dzięki.
\(\displaystyle{ d = \frac{|V \times \vec{M_{0} M}| }{v} = \frac{|[3;4;5] \times [1;-3;2]|}{5 \sqrt{2}} = \frac{\left[\begin{array}{ccc} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\3&4&5\\3&1&2\end{array}\right]}{5 \sqrt{2}}= \frac{3 \vec{i}-9 \vec{k}+9 \vec{j}} {5 \sqrt{2}}= \frac{ \sqrt{3 ^{2}+(-9) ^{2} +9^{2} } }{5 \sqrt{2}}= 0,3 \sqrt{38}}\)