Wyznacz równanie jakie spełniają wspólrzędne.

[verso20]

Witam,

Treść zadania:
Wyznacz równanie jakie spełniają współrzędne punktów należących do płaszczyzny wyznaczonej przez punkty:

\(\displaystyle{ A(1,2,2)\\B(0,2,1)\\C(1,5,5)}\)

Podaj współrzędne kolejnych dwóch punktów leżacych na płaszczyźnie.
Bardzo proszę o pomoc.

[Crizz]

Najpierw obliczasz wektor normalny płaszczyzny jako iloczyn wektorowy wektorów AB i AC:
\(\displaystyle{ \vec{AB}=[-1,0,-1]}\)
\(\displaystyle{ \vec{AC}=[0,3,3]}\)
\(\displaystyle{ \vec{AB} \times \vec{AC}=[3,3,-3]}\)

Szukana płaszczyzna ma zatem równanie \(\displaystyle{ 3(x-x_{0})+3(y-y_{0})-3(z-z_{0})=0}\), gdzie \(\displaystyle{ (x_{0},y_{0},z_{0})}\) jest dowolnym punktem tej płaszczyzny. Możesz tu podstawić np. współrzędne punktu B, otrzymując równanie:
\(\displaystyle{ 3x+3(y-2)-3(z-1) =0}\),
\(\displaystyle{ 3x+3y-3z-3=0}\)

Łatwo znaleźć inny punkt tej płaszczyzny \(\displaystyle{ (1,1,1)}\).

[verso20]

Najpierw obliczasz wektor normalny płaszczyzny jako iloczyn wektorowy wektorów AB i AC:
\(\displaystyle{ \vec{AB}=[-1,0,-1]}\)
\(\displaystyle{ \vec{AC}=[0,3,3]}\)
\(\displaystyle{ \vec{AB} \times \vec{AC}=[3,3,-3]}\)

Szukana płaszczyzna ma zatem równanie \(\displaystyle{ 3(x-x_{0})+3(y-y_{0})-3(z-z_{0})=0}\), gdzie \(\displaystyle{ (x_{0},y_{0},z_{0})}\) jest dowolnym punktem tej płaszczyzny. Możesz tu podstawić np. współrzędne punktu B, otrzymując równanie:
\(\displaystyle{ 3x+3(y-2)-3(z-1) =0}\),
\(\displaystyle{ 3x+3y-3z-3=0}\)

Łatwo znaleźć inny punkt tej płaszczyzny \(\displaystyle{ (1,1,1)}\).

Ogólnie to kapuje tylko:
\(\displaystyle{ \vec{AB} \times \vec{AC}=[3,3,-3]}\) nie wiem skąd to się wzieło
\(\displaystyle{ [-1*0;0*3,-1*3]=[0,0,3]}\)


jak wygląda wzór jak to się mnoży ?

-- 16 czerwca 2009, 18:47 --

znalazłem taki wzór na samym dole, ale i tak nie wychodzi tak samo, wychodzi:

\(\displaystyle{ (0-3)i-(-3-0)j+(-3-0)k}\) są już trójki więc do czegoś doszedłem ale jeszcze znaki nie pasują ...-- 16 czerwca 2009, 18:51 --

Najpierw obliczasz wektor normalny płaszczyzny jako iloczyn wektorowy wektorów AB i AC:
\(\displaystyle{ \vec{AB}=[-1,0,-1]}\)
\(\displaystyle{ \vec{AC}=[0,3,3]}\)
\(\displaystyle{ \vec{AB} \times \vec{AC}=[3,3,-3]}\)

Szukana płaszczyzna ma zatem równanie \(\displaystyle{ 3(x-x_{0})+3(y-y_{0})-3(z-z_{0})=0}\), gdzie \(\displaystyle{ (x_{0},y_{0},z_{0})}\) jest dowolnym punktem tej płaszczyzny. Możesz tu podstawić np. współrzędne punktu B, otrzymując równanie:
\(\displaystyle{ 3x+3(y-2)-3(z-1) =0}\),
\(\displaystyle{ 3x+3y-3z-3=0}\)

Łatwo znaleźć inny punkt tej płaszczyzny \(\displaystyle{ (1,1,1)}\).

Ogólnie to kapuje tylko:
\(\displaystyle{ \vec{AB} \times \vec{AC}=[3,3,-3]}\) nie wiem skąd to się wzieło
\(\displaystyle{ [-1*0;0*3,-1*3]=[0,0,3]}\)


jak wygląda wzór jak to się mnoży ?

-- 16 czerwca 2009, 18:47 --

znalazłem taki wzór na samym dole, ale i tak nie wychodzi tak samo, wychodzi:

\(\displaystyle{ (0-3)i-(-3-0)j+(-3-0)k}\) są już trójki więc do czegoś doszedłem ale jeszcze znaki nie pasują ...

Już się udało błąd był w znakach HURA !!!

[Crizz]

Jak chcesz to mogę jeszcze napisać wersję bez korzystania z iloczynu wektorowego.

[verso20]

Jak chcesz to mogę jeszcze napisać wersję bez korzystania z iloczynu wektorowego.

Jeżeli umiesz i nie jest to trudne, chętnie zobaczę jak to można inaczej rozwiązać.

[Crizz]

OK, niech równanie szukanej płaszczyzny ma postać \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\)
Skoro dane punkty należą do danej płaszczyzny, to spełniają jej równanie, zatem:
\(\displaystyle{ \begin{cases} A+2B+2C+D=0 \\ 2B+C+D=0 \\ A+5B+5C+D=0 \end{cases}}\)

Żeby znaleźć równanie szukanej płaszczyzny, wystarczy rozwiązać ten układ równań. Oczywiście ten układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, bo równanie płaszczyzny możemy zapisać na nieskończenie wiele sposobów (jak masz równanie płaszczyzny, to możesz je stronami pomnożyć przez dowolną niezerową liczbę rzeczywistą i znów otrzymujesz równanie tej samej płaszczyzny). Dlatego bedziemy szukać przykładowego rozwiązania tegu układu.

Teraz ważne jest żeby zrozumieć, że wystarczy rozważyć dwa przypadki:
*albo \(\displaystyle{ A=0}\)
*albo \(\displaystyle{ A \neq 0}\) i wtedy możemy przyjąć, że A jest dowolną niezerową liczbą (ja zawsze przyjmuję, że \(\displaystyle{ A=1}\)) - jeśli znaleźlibyśmy takie rozwiązanie, że A nie jest zerem, np. \(\displaystyle{ A=5}\), to by oznaczało, ze istnieje też takie rozwiązanie, że A jest jedynką, bo wystarczy otrzymane równanie płaszczyzny podzielić stronami przez pięć
Mam nadzieję, że w miarę jasno mi się to udało wytłumaczyć, jak coś to pytaj.

Częściej w zadankach okazuje się, że ten drugi przypadek jest właściwy, więc podstawmy do układu \(\displaystyle{ A=1}\), otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 1+2B+2C+D=0 \\ 2B+C+D=0 \\ 1+5B+5C+D=0 \end{cases}}\)
Rozwiązujesz ten układ dowolną metodą i otrzymujesz \(\displaystyle{ B=1,C=-1,D=-1}\), czyli szukana płaszczyzna ma równanie \(\displaystyle{ x+y-z-1=0}\).
Wyszło to samo, co wcześniejszą metodą, po pomnożeniu obu stron przez 3 otrzymujemy \(\displaystyle{ 3x+3y-3z-3=0}\).

[verso20]

Dziękuje zabieram się do nauki.