izometria, przekształcenie
-
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 14 cze 2009, o 12:42
- Płeć: Kobieta
izometria, przekształcenie
dla jakich wartości k przekształcenie P((x,y)) = (-x, ky) jest izometrią?
-
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
izometria, przekształcenie
Dla dowolnych dwóch punktów \(\displaystyle{ A(x_{1},y_{1}),B=(x_{2},y_{2})}\) ma zachodzić \(\displaystyle{ |AB|=|A'B'|}\):
\(\displaystyle{ A'=(-x_{1},ky_{1})}\)
\(\displaystyle{ B'=(-x_{2},ky_{2})}\)
\(\displaystyle{ |AB|=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}\)
\(\displaystyle{ |A'B'|=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+k^{2}(y_{2}-y_{1})^{2}}}\)
Skoro \(\displaystyle{ |AB|=|A'B'|}\), to \(\displaystyle{ |AB|^{2}=|A'B'|^{2}}\):
\(\displaystyle{ (x_{2}-x_{1})^{2}+ (y_{2}-y_{1})^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}+k^{2}(y_{2}-y_{1})^{2}}\)
\(\displaystyle{ (y_{2}-y_{1})^{2}=k^{2}(y_{2}-y_{1})^{2}}\)
To równanie jest spełnione dla dowolnego \(\displaystyle{ k\in \Re}\) jeśli \(\displaystyle{ y_{1}=y_{2}}\), ale musi jeszcze być spełnione dla \(\displaystyle{ y_{1} \neq y_{2}}\); przy takim założeniu możemy obie strony podzielić przez \(\displaystyle{ (y_{2}-y_{1})^{2}}\):
\(\displaystyle{ k^{2}=1}\)
odp. Przekształcenie jest izometrią dla \(\displaystyle{ k=1 \vee k=-1}\).
\(\displaystyle{ A'=(-x_{1},ky_{1})}\)
\(\displaystyle{ B'=(-x_{2},ky_{2})}\)
\(\displaystyle{ |AB|=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}\)
\(\displaystyle{ |A'B'|=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+k^{2}(y_{2}-y_{1})^{2}}}\)
Skoro \(\displaystyle{ |AB|=|A'B'|}\), to \(\displaystyle{ |AB|^{2}=|A'B'|^{2}}\):
\(\displaystyle{ (x_{2}-x_{1})^{2}+ (y_{2}-y_{1})^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}+k^{2}(y_{2}-y_{1})^{2}}\)
\(\displaystyle{ (y_{2}-y_{1})^{2}=k^{2}(y_{2}-y_{1})^{2}}\)
To równanie jest spełnione dla dowolnego \(\displaystyle{ k\in \Re}\) jeśli \(\displaystyle{ y_{1}=y_{2}}\), ale musi jeszcze być spełnione dla \(\displaystyle{ y_{1} \neq y_{2}}\); przy takim założeniu możemy obie strony podzielić przez \(\displaystyle{ (y_{2}-y_{1})^{2}}\):
\(\displaystyle{ k^{2}=1}\)
odp. Przekształcenie jest izometrią dla \(\displaystyle{ k=1 \vee k=-1}\).