znaleźć rzut prostej \(\displaystyle{ \frac{x}{2} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z+1}{2}}\) na płaszczyznę
\(\displaystyle{ x + y + z = 0}\)
jak to zrobic?:(
znaleźć rzut prostej na płaszczyznę
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
znaleźć rzut prostej na płaszczyznę
Wystarczy znaleźć dwa punkty zrzutowanej prostej.
Przepiszmy najpierw równanie tej prostej na postać parametryczną:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2t \\ y=-t+1 \\ z=2t-1 \end{cases}}\)
Najprawdopodobniej ta prosta przebija płaszczyznę, najłatwiej będzie zatem znaleźć punkt wspólny tych figur: skoro punkt prostej \(\displaystyle{ A=(2t,-t+1,2t-1)}\) ma leżeć jednocześnie na danej płaszczyźnie, to spełnia jej równanie:
\(\displaystyle{ 2t-1+(-t+1)+2t-1=0}\)
\(\displaystyle{ 3t=1}\)
\(\displaystyle{ t=\frac{1}{3}}\)
Stąd \(\displaystyle{ A=\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right)}\)
(gdyby otrzymane powyżej równanie w podobnym zadaniu okazało się tożsamością, to oznaczałoby, ze dana prosta leży na płaszczyźnie, a gdyby było sprzeczne, to dana prosta byłaby równoległa do płaszczyzny)
Następnie znajdujesz inny punkt danej prostej, np.
\(\displaystyle{ B=(2,0,1)}\)
Niech \(\displaystyle{ B'(x,y,z)}\) będzie rzutem tego punktu na płaszczyznę, wówczas:
\(\displaystyle{ \vec{BB'}=[x-2,y,z-1]}\)
Wektor BB' musi być równoległy do wektora normalnego \(\displaystyle{ [1,1,1]}\) płaszczyzny, zatem istnieje takie k, że \(\displaystyle{ k[1,1,1]=[x-2,y,z-1]}\), czyli:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-2=k \\ y=k \\ z-1=k \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=k+2 \\ y=k \\ z=k+1 \end{cases}}\)
Ponadto współrzędne punktu B' spełniają równanie płaszczyzny, zatem:
\(\displaystyle{ x+y+z=0}\)
\(\displaystyle{ (k+2)+k+(k+1)=0}\)
\(\displaystyle{ k=-1}\)
\(\displaystyle{ B'=(1,-1,0)}\)
Mamy już dwa punkty rzutu prostej na płaszczyznę, tzn A i B'.
Wystarczy teraz znaleźć równanie prostej AB'. Korzystamy ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty \(\displaystyle{ (x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2})}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=(x_{1}-x_{2})t+x_{1} \\ y=(y_{1}-y_{2})t+y_{1} \\ z=(z_{1}-z_{2})t+z_{1} \end{cases}}\)
Przepiszmy najpierw równanie tej prostej na postać parametryczną:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2t \\ y=-t+1 \\ z=2t-1 \end{cases}}\)
Najprawdopodobniej ta prosta przebija płaszczyznę, najłatwiej będzie zatem znaleźć punkt wspólny tych figur: skoro punkt prostej \(\displaystyle{ A=(2t,-t+1,2t-1)}\) ma leżeć jednocześnie na danej płaszczyźnie, to spełnia jej równanie:
\(\displaystyle{ 2t-1+(-t+1)+2t-1=0}\)
\(\displaystyle{ 3t=1}\)
\(\displaystyle{ t=\frac{1}{3}}\)
Stąd \(\displaystyle{ A=\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right)}\)
(gdyby otrzymane powyżej równanie w podobnym zadaniu okazało się tożsamością, to oznaczałoby, ze dana prosta leży na płaszczyźnie, a gdyby było sprzeczne, to dana prosta byłaby równoległa do płaszczyzny)
Następnie znajdujesz inny punkt danej prostej, np.
\(\displaystyle{ B=(2,0,1)}\)
Niech \(\displaystyle{ B'(x,y,z)}\) będzie rzutem tego punktu na płaszczyznę, wówczas:
\(\displaystyle{ \vec{BB'}=[x-2,y,z-1]}\)
Wektor BB' musi być równoległy do wektora normalnego \(\displaystyle{ [1,1,1]}\) płaszczyzny, zatem istnieje takie k, że \(\displaystyle{ k[1,1,1]=[x-2,y,z-1]}\), czyli:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-2=k \\ y=k \\ z-1=k \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=k+2 \\ y=k \\ z=k+1 \end{cases}}\)
Ponadto współrzędne punktu B' spełniają równanie płaszczyzny, zatem:
\(\displaystyle{ x+y+z=0}\)
\(\displaystyle{ (k+2)+k+(k+1)=0}\)
\(\displaystyle{ k=-1}\)
\(\displaystyle{ B'=(1,-1,0)}\)
Mamy już dwa punkty rzutu prostej na płaszczyznę, tzn A i B'.
Wystarczy teraz znaleźć równanie prostej AB'. Korzystamy ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty \(\displaystyle{ (x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2})}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=(x_{1}-x_{2})t+x_{1} \\ y=(y_{1}-y_{2})t+y_{1} \\ z=(z_{1}-z_{2})t+z_{1} \end{cases}}\)
znaleźć rzut prostej na płaszczyznę
w tym miejscu:
2t - 1 + (-t+1) + 2t - 1 = 0
skad podstawiamy to pierwsze -1?
2t - 1 + (-t+1) + 2t - 1 = 0
skad podstawiamy to pierwsze -1?
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
znaleźć rzut prostej na płaszczyznę
Hmm ... literówka
W takim razie musisz tylko poprawić moje obliczenia. Nie będzie dużo do poprawiania, zmienią się tylko współrzędne punktu A.
W takim razie musisz tylko poprawić moje obliczenia. Nie będzie dużo do poprawiania, zmienią się tylko współrzędne punktu A.