robie sobie zad z starych matur i w roczniku 2002 znalazłem takie zadanko:
Sprawdź, że przekształcenie P płaszczyzny dane wzorem P((x,y))=(x+1,-y) jest izometrią. Wyznacz równanie obrazu okręgu o równaniu x�+y�-2x=0 w przekształceniu P.
co prawda nie przerabialiśmy płaszczyzn, i chyba nie będzie takich rzeczy na maturze, mimo wszystko mogły mi ktoś napisać o oc chodzi?
W tablicach nic nie mogłem znaleźć na temat izomerii, w necie też
ale nie dokonca rozumiem
i tam jest napisane że izometria jest różnowartościowa
czyli tak na chłopski rozum to to jest izometria? ale jak to sprawdizć nie wiem
O to, co wymyśliłem:
x�+y�-2x=0
x�-2x+1-1+y�=0
x�-2x+1-1+y�=0
(x-1)�y�=1
czyli współrzędne środka okręgu to S=(1,0) r=1
w przekształceniu to będzie S'(2,0) r=1
ale to jest zle? może mi ktoś to jakoś ładnie rozpisać?
[zad maturalne] izomeria & przekształcenie
- Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
[zad maturalne] izomeria & przekształcenie
Dane przekształcenie jest izometrią, jeżeli zachowuje odległość. Bierzesz więc sobie dwa punkty \(\displaystyle{ A=(x_{A},y_{A}), B=(x_{B},y_{B})}\) i sprawdzasz, czy długość odcinka \(\displaystyle{ |AB|}\) jest równa długości odcinka, w przekształceniu P.
Długość odcinka \(\displaystyle{ |AB|= \sqrt{(x_{B}-x_{A})^2 +(y_{B}-y_{A})^2 }}\)
Punkty A i B w przekształceniu to \(\displaystyle{ A'=(x_{A}+1,-y_{A}), B'=(x_{B}+1,-y_{B})}\), więc długość odcinka \(\displaystyle{ |A'B'|}\) to \(\displaystyle{ |A'B'|= \sqrt{(x_{B}+1-x_{A}-1)^2+(-y_{B}+y_{A})^2} =\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}}\).
Czyli \(\displaystyle{ |AB|=|A'B'|}\), więc przekształcenie P jest izometrią.
Mamy równanie okręgu \(\displaystyle{ x^2+y^2-2x=0}\), więc w przekształceniu P nowe równanie będzie wyglądało następująco:
\(\displaystyle{ (x+1)^2 +(-y)^2-2(x+1)=0}\)
\(\displaystyle{ x^2+2x+1+y^2-2x-2=0}\)
\(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\)
Długość odcinka \(\displaystyle{ |AB|= \sqrt{(x_{B}-x_{A})^2 +(y_{B}-y_{A})^2 }}\)
Punkty A i B w przekształceniu to \(\displaystyle{ A'=(x_{A}+1,-y_{A}), B'=(x_{B}+1,-y_{B})}\), więc długość odcinka \(\displaystyle{ |A'B'|}\) to \(\displaystyle{ |A'B'|= \sqrt{(x_{B}+1-x_{A}-1)^2+(-y_{B}+y_{A})^2} =\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}}\).
Czyli \(\displaystyle{ |AB|=|A'B'|}\), więc przekształcenie P jest izometrią.
Mamy równanie okręgu \(\displaystyle{ x^2+y^2-2x=0}\), więc w przekształceniu P nowe równanie będzie wyglądało następująco:
\(\displaystyle{ (x+1)^2 +(-y)^2-2(x+1)=0}\)
\(\displaystyle{ x^2+2x+1+y^2-2x-2=0}\)
\(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 237
- Rejestracja: 14 paź 2005, o 14:38
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: niedługo Warszawa ;)
- Podziękował: 143 razy
[zad maturalne] izomeria & przekształcenie
hmmm....
a w odpowiedziach jest podane \(\displaystyle{ np. x^2+y^2-4x+3=0}\)
czyli to jest na przykład...
to znaczy że mogą być inne dobre rozwiązania?
a jak bym chciała żeby mi wyszło tak jak w odp. albo jeszcze inaczej, to co powinnam zrobić?
macie może jakieś pomysły i propozycje?
dzięki za pomoc
a w odpowiedziach jest podane \(\displaystyle{ np. x^2+y^2-4x+3=0}\)
czyli to jest na przykład...
to znaczy że mogą być inne dobre rozwiązania?
a jak bym chciała żeby mi wyszło tak jak w odp. albo jeszcze inaczej, to co powinnam zrobić?
macie może jakieś pomysły i propozycje?
dzięki za pomoc
- bartholdy
- Użytkownik
- Posty: 158
- Rejestracja: 14 gru 2006, o 19:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 49 razy
[zad maturalne] izomeria & przekształcenie
\(\displaystyle{ \begin{cases}x^\prime = x+1 \quad\Rightarrow\quad x = x^\prime - 1\\
y^\prime = -y \quad\Rightarrow\quad y = y^\prime\end{cases}}\)
Okrąg:
\(\displaystyle{ (x-1)^2 + y^2 = 1}\)
Obraz:
\(\displaystyle{ (x-2)^2+y^2 = 1}\)
y^\prime = -y \quad\Rightarrow\quad y = y^\prime\end{cases}}\)
Okrąg:
\(\displaystyle{ (x-1)^2 + y^2 = 1}\)
Obraz:
\(\displaystyle{ (x-2)^2+y^2 = 1}\)