[zad maturalne] izomeria & przekształcenie

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
ozon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 102
Rejestracja: 4 sty 2006, o 23:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 17 razy

[zad maturalne] izomeria & przekształcenie

Post autor: ozon »

robie sobie zad z starych matur i w roczniku 2002 znalazłem takie zadanko:

Sprawdź, że przekształcenie P płaszczyzny dane wzorem P((x,y))=(x+1,-y) jest izometrią. Wyznacz równanie obrazu okręgu o równaniu x�+y�-2x=0 w przekształceniu P.

co prawda nie przerabialiśmy płaszczyzn, i chyba nie będzie takich rzeczy na maturze, mimo wszystko mogły mi ktoś napisać o oc chodzi?

W tablicach nic nie mogłem znaleźć na temat izomerii, w necie też
ale nie dokonca rozumiem
i tam jest napisane że izometria jest różnowartościowa
czyli tak na chłopski rozum to to jest izometria? ale jak to sprawdizć nie wiem

O to, co wymyśliłem:
x�+y�-2x=0
x�-2x+1-1+y�=0
x�-2x+1-1+y�=0
(x-1)�y�=1
czyli współrzędne środka okręgu to S=(1,0) r=1

w przekształceniu to będzie S'(2,0) r=1


ale to jest zle? może mi ktoś to jakoś ładnie rozpisać? :D
Awatar użytkownika
Tristan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2353
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 557 razy

[zad maturalne] izomeria & przekształcenie

Post autor: Tristan »

Dane przekształcenie jest izometrią, jeżeli zachowuje odległość. Bierzesz więc sobie dwa punkty \(\displaystyle{ A=(x_{A},y_{A}), B=(x_{B},y_{B})}\) i sprawdzasz, czy długość odcinka \(\displaystyle{ |AB|}\) jest równa długości odcinka, w przekształceniu P.
Długość odcinka \(\displaystyle{ |AB|= \sqrt{(x_{B}-x_{A})^2 +(y_{B}-y_{A})^2 }}\)
Punkty A i B w przekształceniu to \(\displaystyle{ A'=(x_{A}+1,-y_{A}), B'=(x_{B}+1,-y_{B})}\), więc długość odcinka \(\displaystyle{ |A'B'|}\) to \(\displaystyle{ |A'B'|= \sqrt{(x_{B}+1-x_{A}-1)^2+(-y_{B}+y_{A})^2} =\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}}\).
Czyli \(\displaystyle{ |AB|=|A'B'|}\), więc przekształcenie P jest izometrią.

Mamy równanie okręgu \(\displaystyle{ x^2+y^2-2x=0}\), więc w przekształceniu P nowe równanie będzie wyglądało następująco:
\(\displaystyle{ (x+1)^2 +(-y)^2-2(x+1)=0}\)
\(\displaystyle{ x^2+2x+1+y^2-2x-2=0}\)
\(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\)
Matka Chrzestna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 237
Rejestracja: 14 paź 2005, o 14:38
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: niedługo Warszawa ;)
Podziękował: 143 razy

[zad maturalne] izomeria & przekształcenie

Post autor: Matka Chrzestna »

hmmm....

a w odpowiedziach jest podane \(\displaystyle{ np. x^2+y^2-4x+3=0}\)

czyli to jest na przykład...
to znaczy że mogą być inne dobre rozwiązania?

a jak bym chciała żeby mi wyszło tak jak w odp. albo jeszcze inaczej, to co powinnam zrobić?

macie może jakieś pomysły i propozycje?
dzięki za pomoc
Awatar użytkownika
bartholdy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 158
Rejestracja: 14 gru 2006, o 19:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 49 razy

[zad maturalne] izomeria & przekształcenie

Post autor: bartholdy »

\(\displaystyle{ \begin{cases}x^\prime = x+1 \quad\Rightarrow\quad x = x^\prime - 1\\
y^\prime = -y \quad\Rightarrow\quad y = y^\prime\end{cases}}\)


Okrąg:
\(\displaystyle{ (x-1)^2 + y^2 = 1}\)

Obraz:
\(\displaystyle{ (x-2)^2+y^2 = 1}\)
ODPOWIEDZ