Matematyka.pl

proszę o pomoc w zadaniu: znaleźć odległość między prostymi:

\(\displaystyle{ L: x+y-z+1=0 \ ; \ x+y=0\\
P:x-2y+3z-6=0 \ ; \ 2x-y+3z-6=0}\)

jeśli dobrze kojarzę te te proste są podane w postaci krawędziowej, tylko że nie wiem jak z tego wybrnąć:/

Przechodzisz w postać parametryczną obiema prostymi i tu możesz wstawić do wzoru...

a jak to przedstawić w postaci parametrycznej??

Przejście do postaci parametrycznej:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-2y+3z-6=0 \\ 2x-y+3z-6=0 \end{cases}}\)
Najpierw rugujesz jedną z niewiadomych, np. mnożysz drugie równanie układu przez \(\displaystyle{ -1}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-2y+3z-6=0 \\ -2x+y-3z+6=0 \end{cases}}\)
a następnie dodajesz oba równania stronami:
\(\displaystyle{ -x-y=0}\)
\(\displaystyle{ x+y=0}\)
Teraz rugujesz inną niewiadomą, np. mnożysz pierwsze równanie wyjściowego układu stronami przez \(\displaystyle{ -2}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} -2x+4y-6z+12=0 \\ 2x-y+3z-6=0 \end{cases}}\)
i dodajesz stronami:
\(\displaystyle{ 3y-3z+6=0}\)
\(\displaystyle{ y-z+2=0}\)

Z pierwszego otrzymanego równania masz zależność \(\displaystyle{ x=-y}\), teraz wyliczasz wyrażenie \(\displaystyle{ -y}\) z ostatniego równania:
\(\displaystyle{ y=z-2}\)
\(\displaystyle{ -y=-z+2}\)

Otrzymujesz równanie prostej w postaci ogólnej: \(\displaystyle{ x=-y=-z+2}\), możesz je teraz zapisać w postaci \(\displaystyle{ x=\frac{y}{-1}=\frac{z-2}{-1}}\), z której łatwo odczytasz równanie w postaci parametrycznej:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=t \\ y=-t \\ z=-t+2 \end{cases}}\)