Dane sa wspolrzedne
\(\displaystyle{ A=(-2,-1) \\
B=(3,2)\\
C=(2,-5)}\)
Oblicz pole i wysokość poprowadzona z wierzcholka A do podstawy.
Trojkat,pole ,wysokosc
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Trojkat,pole ,wysokosc
Najłatwiejszy sposób liczenia pola trójkąta:
Pole trójkąta ABC wynosi \(\displaystyle{ S=\frac{1}{2}|det(\vec{AB},\vec{AC})|}\),
gdzie \(\displaystyle{ det([a_{1},b_{1}],[a_{2},b_{2}])=a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}}\)
W Twoim zadaniu:
\(\displaystyle{ A=(-2,-1)}\)
\(\displaystyle{ B=(3,2)}\)
\(\displaystyle{ C=(2,-5)}\)
\(\displaystyle{ \vec{AB}=[5,3]}\)
\(\displaystyle{ \vec{AC}=[4,-4]}\)
\(\displaystyle{ det(\vec{AB},\vec{AC}) =5 \cdot (-4)-3 \cdot 4=8}\)
\(\displaystyle{ S=\frac{1}{2}|det(\vec{AB},\vec{AC})|=\frac{1}{2}|8|=4}\)
Skoro znasz już pole, to wystarczy obliczyć długość podstawy BC: \(\displaystyle{ |BC|=\sqrt{(2-3)^{2}+(-5-2)^{2}}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}}\), stąd już łatwo obliczysz długość szukanej wysokości:
\(\displaystyle{ h=\frac{2S}{|BC|}=\frac{8}{5\sqrt{2}}=\frac{4}{5}\sqrt{2}}\)
Pole trójkąta ABC wynosi \(\displaystyle{ S=\frac{1}{2}|det(\vec{AB},\vec{AC})|}\),
gdzie \(\displaystyle{ det([a_{1},b_{1}],[a_{2},b_{2}])=a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}}\)
W Twoim zadaniu:
\(\displaystyle{ A=(-2,-1)}\)
\(\displaystyle{ B=(3,2)}\)
\(\displaystyle{ C=(2,-5)}\)
\(\displaystyle{ \vec{AB}=[5,3]}\)
\(\displaystyle{ \vec{AC}=[4,-4]}\)
\(\displaystyle{ det(\vec{AB},\vec{AC}) =5 \cdot (-4)-3 \cdot 4=8}\)
\(\displaystyle{ S=\frac{1}{2}|det(\vec{AB},\vec{AC})|=\frac{1}{2}|8|=4}\)
Skoro znasz już pole, to wystarczy obliczyć długość podstawy BC: \(\displaystyle{ |BC|=\sqrt{(2-3)^{2}+(-5-2)^{2}}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}}\), stąd już łatwo obliczysz długość szukanej wysokości:
\(\displaystyle{ h=\frac{2S}{|BC|}=\frac{8}{5\sqrt{2}}=\frac{4}{5}\sqrt{2}}\)