geometria analityczna-prosta i wektor

[agaisha]

1. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt A(2,-1,1) i równoległej do wektora [3,2,-2],

2. Ustal dla jakiej wartości D prosta \(\displaystyle{ \ \begin{cases} x+y-z+2=0\\2x-y+z+D=0 \end{cases}\}\) przecina oś ox.

3. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt A(2,1,-2) i równoległej do prostej \(\displaystyle{ \begin{cases} x=1-t\\y=2t\\z=1+t\end{cases}}\), \(\displaystyle{ \ , \ t \in \mathbb R}\).

4. Znajdź punkt przebicia płaszczyzny \(\displaystyle{ \ 2x+3y+z-1=0\}\) prostą \(\displaystyle{ \ \frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{6}}\) .

Bardzo proszę chociaż o jakieś pomysły na rozwiązanie,a jeśli ktoś by umiał zrobić, to o rozwiązanie.
Z góry dzięki

[Crizz]

1.) Równanie prostej przechodzącej przez \(\displaystyle{ (x_{0},y_{0},z_{0})}\), równoległej do wektora \(\displaystyle{ [a,b,c]}\), można zapisać w postaci:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=x_{0}+at \\ y=y_{0}+bt \\z=z_{0}+ct \end{cases}}\)
albo w postaci:
\(\displaystyle{ \frac{x-x_{0}}{a}=\frac{y-y_{0}}{b}=\frac{z-z_{0}}{c}}\),
o ile \(\displaystyle{ a,b,c, \neq 0}\)

2.) To pytanie można postawić inaczej: dla jakiej wartości D układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y-z+2=0 \\ 2x-y+z+D=0 \\ y=0 \\ z=0 \end{cases}}\)
ma co najmniej jedno rozwiązanie?

3.) Z równania prostej równoległej odczytujesz współrzędne wektora równoległego do szukanej prostej: \(\displaystyle{ [-1,2,1]}\). Dalej rozwiązujesz tak jak zadanie 1.

4.) Przepisujesz równanie prostej na postać parametryczną:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=t+1 \\ y=-2t-1 \\ z=6t \end{cases}}\)
Szukasz takich punktów prostej \(\displaystyle{ (x,y,z)}\), że spełnione jest równanie:
\(\displaystyle{ 2x+3y+z-1=0}\)
podstawiasz do rónanaia "wzory" na x,y,z:
\(\displaystyle{ 2(t+1)+3(-2t-1)+6t-1=0}\)
stąd otrzymujesz \(\displaystyle{ t=1}\)czyli szukanym punktem jest \(\displaystyle{ (2,-3,6)}\).