Wektory i równanie prostej

[Watari]

1)Rozważamy trzy liniowo niezalezne wetory (niekoniecznie prostopadłe i unormowane) \(\displaystyle{ \vec{a} , \vec{b} , \vec{c}}\) . Pewien wektor x przedstawiono jako kombinację liniową \(\displaystyle{ \vec{x} = \alpha \vec{a} + \beta \vec{b} + \gamma \vec{c}}\). Proszę wyrazić liczby \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\) przez wektory \(\displaystyle{ \vec{x} , \vec{a} , \vec{b}, \vec{c}}\)

2) Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ \vec{A}}\) i zawierającej prostą \(\displaystyle{ \vec{r} \times \vec{t} = \vec{b}}\). Gdzie nie powinien leżeć punkt \(\displaystyle{ \vec{A}}\). jezeli rozwiązanie ma być jednoznaczne?

3) Znaleźć równanie prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ \vec{P}}\) i prostopadle przecinającej prostą \(\displaystyle{ \vec{r} \times \vec{t} = \vec{b}}\)

Bardzo proszę o pomoc

[BettyBoo]

1) z jakiej przestrzeni są te wektory? z \(\displaystyle{ R^3}\)?

2,3) jeśli mi wyjaśnisz, co jest co w tym równaniu prostej (czyli jakie geometryczne znaczenie dla prostej mają te wszystkie wektory), to pewnie mogłabym odpowiedzieć. Co do 2 części zadania 2 - chodzi oczywiście o to, że A nie może leżeć na podanej prostej.

Pozdrawiam.

[Watari]

1) Tak
2) b i t to ustalone wektory takie, że b jest prostopadły do plaszczyzny utworzonej przez r i t. Utworzona prosta jest równoległa to do wektora t.

[BettyBoo]

1) Wobec tego \(\displaystyle{ \alpha,\ \beta,\ \gamma}\) mogą być wyznaczone ze wzorów Cramera (ponieważ podane wektory są liniowo niezależne, to stanowią bazę, więc zapis wektora x jest jednoznaczny)

Ponieważ wyznacznik macierzy i macierzy do niej transponowanej są identyczne oraz wyznacznik, którego wierszami są współrzędne kolejnych wektorów jest równy ich iloczynowi mieszanemu, to ze wzorów Cramera mamy

\(\displaystyle{ \alpha=\frac{(xbc)}{(abc)},\ \beta=\frac{(axc)}{(abc)},\ \gamma=\frac{(abx)}{(abc)}}\),

gdzie \(\displaystyle{ (stu)=s\cdot (t\times u)}\) oznacza iloczyn mieszany wektorów s,t i u.

2) wektor normalny płaszczyzny jest wobec tego równoległy do b, więc można przyjąć, że równy b.
czyli równanie płaszczyzny na postać \(\displaystyle{ \vec{b}\cdot (\vec{x}-\vec{A})=0}\)

3) ta płaszczyzna z kolei jest prostopadła do wektora t, zatem jej równaniem jest \(\displaystyle{ \vec{t}\cdot (\vec{x}-\vec{A})=0}\)

Pozdrawiam.

Edit: coś przespałam fakt, że chodzi o prostą tego nie umiem w tej chwili zrobić (nie z tej postaci prostej). Wiadomo, że szukana prosta jest postaci \(\displaystyle{ \vec{x}=\alpha(\vec{P}-\vec{x_0})+\vec{P}}\), gdzie \(\displaystyle{ \vec{x}_0}\) jest punktem przecięcia obu prostych, a więc oprócz tego, że musi spełniać warunek prostopadłości \(\displaystyle{ \vec{t}\cdot (\vec{P}-\vec{x_0})=0}\), to należy do pierwszej prostej (a tej informacji z takiej postaci równania nie potrafię wyciągnąć). Może Ci to pomoże. Być może da się tą prostą też uzyskać z odpowiednio dobranych płaszczyzn, ale nie mam w tej chwili pomysłu, jak to dokładnie zrobić.

[Watari]

Dzięki, ale w zad 3 należy podać równanie prostej, nie płaszczyzny.